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ACTA MATHEMATICA

Math

ACTA MATHEMATICA

ZEITSCHRIFT JOURNAL

VON 7 PAR

G. MITTAG-LEFFLER

[TIE TP 2 | j^ [12/81 | / STOCKHOLM F. & G. BEIJER. À) BERLIN 1889 PARIS MAYER & MÜLLER. A. HERMANN. 38/39 FRANZÜSISCHE STRASSE CENTRAL TRYCKERIET, STOCKHOLM. 8 RUE DE LA SORBONNE

,

REDACTION

SVERIGE: A. V. BicELUND, Lund. H. GYLDÉN, Stockholm. SOPHIE KOWALEVSKI, » A. LiNDSTEDT, » . G. MrrrAG-LEFFLER, » NORGE: C. A. Bserxnes, Christiania. O. J. Brocu, » S. Liz, Leipzig. L. Svrow, Fredrikshald DANMARK: L. Lorenz, Kjöbenhavn. J. PETERSEN, » H. G. ZEUTHEN, » FINLAND:

L. LiwpELór, Helsingfors.

SUR- LE MOUVEMENT D'UN: ELL; DANS UN PLAN FIXE PAR

P. APPELL

à PARIS.

La forme la plus simple sous laquelle on a pu jusqu'à présent mettre les équations du mouvement d'un fil flexible et inextensible dans un plan fixe a été indiquée par M. Resaz dans son Traité de Mécanique Générale (Tome I, pages 321 et suiv.). .M. Resan forme deux équations simultanées aux dérivées partielles de l'intégration desquelles dépend la solution du probléme; puis il ajoute que l'élimination de la tension entre ces deux équations conduit à une équation aux dérivées partielles du sirieme ordre, qui n'est d'ailleurs pas formée.

Dans le présent Mémoire, nous suivrons une méthode qui ne fait intervenir que les éléments essentiels de la question et qui ramène la recherche du mouvement du fil à l'intégration d'une équation aux dé- rivées partielles du quatrième ordre. En cherchant des solutions parti- culières de forme déterminée de cette équation on arrive à résoudre : avec facilité plusieurs problémes importants.

Nous divisons notre mémoire en trois parties: dans la première se trouvent établies les équations du mouvement, la seconde contient leur application à des cas particuliers, enfin la troisiéme est relative aux oscil- lations infiniment petites. |

Nous avons indiqué la méthode que nous suivons iei dans une Note présentée à l'Académie des Sciences de Paris le 22 novembre 1886

Acta mithematica. 12. Imprimé le 17 septembre 1888, T

2 P. Appell.

iF

Equations du mouvement.

1. Soit un fil flexible et inextensible mobile dans un plan fixe: désignons par x et y les coordonnées rectangulaires d'un élément ds de ce fil et par s la longueur du fil depuis un point déterminé du fil jusqu'à l'élément ds; appelons mds la masse de l'élément ds, T la tension de cet élément et mXds, mYds les projections sur les axes coordonnés de la ré- sultante des forces extérieures appliquées à ce méme élément. Les équa- tions du mouvement sont, comme il est bien connu,

da d me) =

DT dr =7,(4 us + m X

d^ y AH ds rdi 3

(1) Wu — (TAE) + m)

où m est une fonction connue de s qui se réduit à une constante quand le fil est homogene. Ces équations définissent x ,7 et T' en fonction des deux variables indépendantes s ct /. L'intégration de ces trois équations simultanées aux dérivées partielles peut étre ramenée à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre que l'on forme comme il suit.

Soit « l'angle que fait à l'instant ¢ la tangente au fil en un point avec laxe des abseisses: l'équation de cette tangente sera de la forme

v sina — y cosa = ela,f)

ou @(a,t) est une certaine fonction de l'angle « et du temps # Pour éviter les signes d'intégration, désignons par p une fonction de a et ¢ dont la dérivée partielle par rapport à a soit g(a, /) et appelons p', p", p",p" les dérivées partielles des divers ordres de p par rapport à a. L'équation de la tangente au fil sera alors

(2) x gna y cosa = p’,

Sur le mouvement d un fil dans un plan fixe. 3

et, pour avoir la forme du fil à l'instant /, il faudra chercher l'enveloppe de la droite (2) en laissant ¢ constant et faisant varier 4. On trouve ainsi, pour les coordonnées du point de contact, les expressions

(3) py = p'sina + p"cosa, y = — y'eosa + p"'sina.

En convenant d'employer la lettre à pour désigner les dérivées partielles prises par rapport à a et { considérées comme variables indépendantes, et de réserver la lettre d pour désigner les dérivées partielles prises par rapport aux variables indépendantes s et ¢, on aura

Ou Oy

— =4(p' + p’”’) cosa,

“A — (p + p")sina,

24

oz! /ay\'

; / A E 2 LA = / E: l2 — mi yt? 94 V Mee a e l HE et en intégrant SD = pie Il semble qu'en intégrant il faille ajouter au second membre une con- 5 J stante par rapport à a c'est a dire une fonction de £: mais cela est inutile,

car la fonction p étant jusqu'à présent définie par cette seule condition que sa dérivée partielle par rapport à a égale une fonction e(m, f)

po g(a, 4), ona

p —fe(s, t)da + g(t), j

d(t) désignant une fonction arbitraire de /; l'on pourra toujours choisir cette fonction arbitraire de ¢ de telle facon que l'arc s compté à partir d'un point déterminé pris sur le fil ait pour expression

(4) s=p+Pp".

Dans les équations (1), ©, y et T sont considérées comme fonctions des variables indépendantes s et /; à l’aide de la relation (4) s — p 4- p" on pourra exprimer z,; et T en fonction de 4 et ¢ qui deviendront les nouvelles variables indépendantes,

4 Vo P. Appell.

Les règles élémentaires du changement de variables donnent

da i dr da dy = 21 da IT fes ol du ds dads’ ds m ds’ ds da. ds (5)

| HIR One eo dy -. Oy 94 du

di- Gia out a “ordi L'angle z, est une fonction de s et ¢ définie par la relation S = pi se jp

qui donne, si on la différentie par rapport à s et ¢ successivement,

de Op ap" ; du I === Ji De 1 O — el! dm y nis ta" Up pers aM: con ME PE. d'ou op op da I da Of et ds ep + ye dt py + 2 ; Les formules (2) X =p sina + p’ cosa, y = — pcosa + p’ sina donnent aussi Ow € RER. 111 a Ov (xy HIN © oix SEES Fig (p + p")sina ox oy ^ Op” Qu op’ ap” , — = - SI 4 GOS CE — = — — COS 0 SIN a: ata berne CT: 2l rT LES

On a donc enfin, en portant ces différentes expressions dans les formules (5) et réduisant

dx du ; aq 1 oT — = (08% — == Sind, - HR == ds 2 ds ids PL EM Ou (6) ER de op op cu op CP) ie — = — sina —— cosa; — = —— cosa —-— sing, dt) at DEN Ma dt TS D REY

ou les deux premières formules sont évidentes géométriquement.

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 5

On a de méme

dw : da dy » da ES To hi da t Geet de dx /de 9 /dx\ da the [] du d dy\ da am aU) tete di s Gd) ss it) ac ce qui donne d'u c sin 7 d'y cosa ds? X REN » n ds? e y EE Ta dia 2 p 1 ay er) ? sina X — | Qi —— COS 4 —, de Le a ot een d’y ?*p ep 9p"V^ cosa RU M M 85 —— SING En I PT de 0 1 Mau bp Pc

Les équations (1) du mouvement peuvent s'écrire

d? x ms d 4 dT da

Hs — 1 dp sce m + mX d’y BEN dT dy ms 1 ds dar ce + on};

en multipliant la premiere de ces équations par sing, la deuxieme par — cosa et les ajoutant, aprés y avoir remplacé les différentes dérivées par les valeurs que nous venons de calculer, on obtient la relation

9p Op ep \ I T - n ES c (2 M oa = es + m(X sin 4 Y cosa):

en inultipliant la premiere des équations du mouvement par cosa, la deuxième par sing et ajoutant, on obtient une seconde relation 9 VR 2T' I

— m — m(X cos 2 Y sing). ot? ^ 9«a pt+p = RR xis Es

Les expressions X cosa + Ysina, — Xsina + Y cosa sont les compo- santes tangentielle et normale de la force extérieure rapportée à l'unité de masse: si nous les appelons, pour abréger, @ et #°

D = Xcosa + Y sina, Y = — Xsina + Y cosa,

6 P. Appell.

nous aurons les deux équations suivantes

| T IE aL 9p" ) ae m(p + y") (^ + (7) |

9*p | 9t?

oT du

7. 9^p = —uan(y + p") D + Ze):

Dans le cas le plus general qui puisse se presenter, X et Y ct, par suite, do dy Jupe des relations (2), (4) et (6), one pourra exprimer ® et ¥ en fonction de a,t,p et des dérivées partielles de p par rapport à a et ¢; de plus m

® et ¥ sont des fonctions données de x,y, a, s et £: # l’aide

étant une fonction donnée f(s) de lare s, on aura

m = f(p + p). Done les equations (7) seront deux équations simultanées définissant 7

et p en fonction de « et f. En éliminant T entre ces équations, on obtient une équation du quatrieme ordre

2 op 9p? : as : 9*p^ (8) AE eee utor em eem

+ m(p' + p’”)( D + = = 0

qui définit p en fonction de « et f.

A toute intégrale particulière de cette équation correspond un mouve- ment possible du fil, à condition que la valeur de la tension 7' fournie par la première des équations (7) soit positive.

2. Avant de passer aux applications, je me propose de montrer rapidement comment les équations (7) peuvent étre déduites de celles que donne M. Resar dans le premier volume de son Traité de mécanique gé- nérale, pages 321 et suivantes,

M. Resa désigne par v et w les composantes de la vitesse d'un point du fil suivant la tangente et la normale au fil, et par ¢ et ¢ les

|

^ í

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe.

composantes suivant les mêmes directions de l'aecélération du méme point. On a donc

de gu. dx . dy p = — cos — sina, U = —-—sIna © COS dt "5 "m dt ee dt Dapur La dt d d'a : d'a . d? a € = — cosa + — sina, d= — gina P eos Bit ap Par s at i =

D'après les expressions trouvées précédemment (formules 6 et suiv.) pour de dy, d'z d'y

di? di? dec de? on obtient

W—= —- = —— | ot ? at

(9) Sac ERO I a ee | = ote n e pa ot? A ET T"

Les équations (4) de M. Resaz (loc. cit. pag. 323), dans lesquelles on remplace ¢ par m, deviennent donc

dT 9*p = (D = Pap aad UE s 73, = pu Ope MOINE LT mur | 2 se a T ol born p | uon

Les quantités s, « et { sont liées par la relation

D ET Jet ay qui donne LU Beate d'autre part, on a UT deat da ads Cap y"

dT da En remplacant q. et 7; par ces valeurs dans les équations ci-dessus, on ds ds

retrouve les us du mouvement: (7).

P. Appell.

D'aprés les significations géométriques de p et p’, il est

Remarque. facile d'établir eéométriquement les formules op ayy’ — E = — ot ot

3. Dans le cas particulier où les composantes @ et 4^ ne dependent que de s et a, on peut transformer les équations du mouvement en deux Pour le

autres définissant lare s et la tension 7' en. fonction de 4 et f. *

montrer, rappelons les formules

: > es 5 jj S CUPIDUM pulos e ADS D)

Les équations du mouve-

ou p désigne le rayon de courbure du fil.

ment deviennent IN I /9s‘ x 9^p' x iy Ode —=-(—) NE, A PE coo mn 9 np du En différentiant la seconde de ces équations par rapport à « et la re-

tranchant de la premiere, on a

I on Sici SEM I m oT mo ol Laos \e Fe IT SES SMS en mo 04” On 9a p. Nt

ce qui s'écrit aussi TAN ah I /ds\" — = q dy. een eue

0 i

1] I a ( I | | mp vp Ou" y mp * amp du” vm,

De méme, en différentiant la premiere des équations ci-dessus par rapport

à a et en l'ajoutant a la seconde, on a

E I 2 co m mp 9 pi /0sV^ j 9s E Le |- e — ! m inp 00 Ow Ca | a 9t; 9t ce qui s'écrit aussi Deve fh 9 [1 fos V" 9s ar oe s e 90 | p \ot ol

ymo On ^N np

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 9 Dans ces équations, et 4" désignent les dérivées de @ et /" par rapport à a: par exemple, comme ® dépend de « directement et par lintermé-

diaire de s : op |o = l'a We

(Le = : / 94 2s os ! Si l'on fait, pour simplifier T = ÿmpT, il vient % RET 9* I I.» I /9s\ * * z[— += (—) — = — —=- | )—¥+ 0 mp 94^ \ymp vmp ea” p \ot (10) 2 93 9? rı /ds\* ; 9*s | &e-ipen-n-e-t ymp 00 da | p \at ot

équations qui définissent € et s en fonction de a et /. Dans ces équa- : ; . Os . ; tions p est égal à 5, et m est une fonction donnée de s.

“

Lorsque la seule force extérieure est la pesanteur on a

D = —gsina, i| — —g cosa + D =o, Q'— V -—o

et les équations (10) prennent la même forme que si la force extérieure était nulle.

4.. Equations d'équilibre. — Pour trouver les équations d'équilibre du fil sous l'action des forces données, il suffit de chercher à vérifier les équations du mouvement (7) par une fonction p indépendante du temps t; en effet, le fil étant supposé en équilibre, les composantes tangentielle et normale

de la vitesse d'un point du fil doivent être nulles, donc p doit être in- dépendant de ¢. Dans cette hypothèse, les équations (7) deviennent

| T=—wm(p' +p)" Tl ; 3 un) - = — mp + p) À

Acta mathematica. 12. Imprimé le 18 septembre 1888.

bo

10 P. Appell.

d'ou, par l'élimination de T ro’ + DE] — m(p + pd = o,

ce qui est une équation du quatrième ordre définissant y en fonction de a. Dans cette équation, # est une fonction donnée de s et ® et ¥ des

fonctions données de r,9y,5,24: Wf SEED Ema D == d(r,y,s. a) = D(p sina + p'cosq, — y'cosa + p" sina, p+ p^, a) Y= W(r,y,s, a) = VT(p' sina + p'cosa, —p'cosa + p'sina , p + p", a).

Les équations (11) résultent immédiatement des équations d'équilibre bien connues: dT

T — — mo, = —mó ds

ou p désigne le rayon de courbure de la figure d'équilibre

Nous n'avons rappelé ces équations qu'en vue de certains théorémes qui se présenteront plus loin. Dans le eas particulier ou la force extérieure dépendrait unique- ment de s et a p= P(s , a). yy — V'(s : a),

/

il serait plus simple de prendre, dans les équations d'équilibre, s comme fonction inconnue de a: lon aurait alors pour déterminer s en fonction de «, l'équation du second ordre

9 Os \ os — mV —)—_m— D = 0, 24 du, 04

ou om

MMS); == f(s)—-

C'est le cas qui se présente quand la seule force extérieure est la pesanteur.

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 141

Dans ce dernier cas, les équations (10) donnent immédiatement pour l'équilibre

I 2! / I T = const., = + =a (—) — vo 24 V mp ] C f 1. CT MO = ——— DE eet aon VIT ses) i cos* (« — a,)’ nes ing (a — a)

En revenant aux équations du mouvement, nous allons tàcher d'en trouver des solutions particuliéres ayant des significations simples.

IT.

Applications à quelques problèmes.

5. Dans les applications des équations précédentes, nous aurons fréquemment à résoudre un probléme que l'on peut énoncer comme il suit:

Soient deux variables indépendantes a et t, A,, A,,..., À, des fonctions de la variable x seule, T,, T,,.,.,T,

riable t seule; que doivent être ces fonctions pour qu'il puisse exister entre elles une relation de la forme

des fonctions de la va-

(12) AT, + A,T, +...+ AUT, =0 ayant lieu quelles que soient à et t?

Nous donnerons la solution pour le cas de » — 4, en remarquant que le cas où n aurait une valeur différente se traiterait exactement de la méme facon.

Soit done à vérifier la relation

(13) I SM AME HAT — co

quelles que soient « et /. Différentes hypothèses se présentent:

1°) Supposons d'abord les fonctions A,, 4,, A,, A, linéairement in- dépendantes, c'est à dire supposons qu'il n'y ait entre elles aucune relation ‘

12 P. Appell.

linéaire homogene à coefficients constants (indépendants de a). Alorg la relation supposée (13) ne pourra être vérifiée que si l'on a

et les fonctions A, , 4, , 4, , 4, seront arbitraires.

2°) Supposons qu'il existe entre les fonctions A,, 4,, 4,, À, une et une seule relation linéaire homogène à coefficients constants

k, A, +44, + kA, + kA, = 0:

Comme les quatre coefficients k,,k,,k,,h, ne sont pas tous nuls, sup-

posons, pour fixer les idées, %, différent de zéro; nous pourrons alors

1 résoudre cette relation par rapport à À, et porter la valeur de 4, dans l'équation (13) qui deviendr:

Ah, T, "ern k, T) dE A. Ls DEA h, T.) Hs Ah, 7; = k, T,) ©:

Puisque les fonctions A,, A,, 4,

, sont linéairement indépendantes, les

227. coefficients de 4, , A,, A, dans cette derniere équation doivent être nuls;

ce qui donne.

49

3°) Supposons qu'il existe entre les fonctions 4,, 4,,.4,, A, deux et seulement deux relations linéaires homogenes distinctes à coefficients constants

ki A, I kA, de k, À, Bs k,A, — © 4 h, A, Si h, A, Fr h, A, + od =O.

Comme tous les déterminants /,h, — k;h; ne peuvent pas être nuls, sup- posons 4,7, —h,k, différent de zéro. Nous pourrons alors résoudre les deux relations précédentes par rapport à A, et A, ce qui nous donnera des expressions de la forme

A, = A, + Davee A, == À, À, oe HAN,

ss AQ. pu Ctant des constantes faciles à exprimer à l'aide des con-

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 13 stantes k,, h,. Portons ces expressions de A, et A, dans l'équation (13); nous aurons

4,0, ir + PT, T 2) T 4, 13 + LT, +: 2) 108

Comme les fonctions A, et A, sont linéairement indépendantes, il faudra que l'on ait AT +47, + T; =0

BU, SE Tus T, - o.

4°) Sil y a, entre les fonctions 4,, 4,, A,, A, trois relations li-

uéaires homogenes distinctes à coefficients constants, on en conclura

4

yt Ape a h, h, h, h, h,,h,,h,, h, étant des constantes; l'équation (13) donne alors

LT +h T, p VT, 4T, = 0. 5°) Enfin si l'on a

A, = Á, — A, = A, —0

4

les fonctions T,, T,, T,, T, sont arbitraires.

6. Revenons maintenant à la question de mécanique et supposons que la force extérieure appliquée à un élément du fil dépende unique- ment de la position. de cet élément c'est à dire de ses coordonnées et de son orientation; alors X et Y seront des fonctions de »,j et a, et il en sera de méme de ® et ' de sorte que l'on aura

D = d(r,y,a) = d(y sina + p'cosa, — p' cosa + p'sina , a) Y= Yx,y,a) = Y(p'sna + p'cosa, — p' cosa + p'sina , a).

Cherchons si, dans ces conditions, le mouvement du fil peut consister en un glissement le long d'une courbe géométrique fixe, ou, en d'autres termes, si le fil peut afjecter une figure de repos apparent dans l'espace.

14 P. Appell.

Pour cela, il faut et il suffit que la composante w de la vitesse de chaque point du fil normalement au fil soit nulle. Comme on a trouvé op’ CRT pour que X soit constamment nul pour chaque point du fil, il faut et il suffit que la fonction p de a et ¢ soit de la forme

p=A+0

où A dépend de a seulement et 0 de ¢ seulement. En désignant par A’, A",..., 0, 0",... les dérivées des fonctions A et 6 par rapport aux variables « et ¢ respectivement, nous aurons

ep op À

= = (5) — e) S cs ot gs ot? 9

op 9p"

LE —0o eo 8 82 ot 2 ot

Portant ces valeurs dans l'équation du mouvement (8), on obtient l'équation

(14) = imo" — aA + A") V] + m(4 + A")(0 + 6") = o,

dans laquelle m est une fonction donnée de s

m = f(s) = f(p + p”) = f(A + A” + 6) tandis que ® et ¥ sont des fonctions de la seule variable «

® = D(A'sina + A’ cosa, — A’ cosa + A" sina, a) Y= V(A'sina + A” cosa, — A'cosa + A" sina, a).

Nous examinerons successivement le cas où le fil est homogène et le cas où le fil est heterogene. a) Le fil est homogène; » est une constante, Ce cas a été examiné

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 15 par M. LéaurÉ. L'équation (14) devient alors, aprés suppression du facteur m, À

7 [4 + A")] — (4' + 4") 0 + 8") = o ou bien

C RE QE PARTS

re dr.

Le premier membre qui ne dépend que de / ne peut être égal au second qui ne dépend que de a, que si les deux membres sont constants. Donc on a

0" — K, 8" = Kt + K,, Br ‘Kt + Kt + K,

K, K,, K, désignant des constantes; puis

(15) E = [ar Agr] — G^ + AMY + K) = o.-

En intégrant cette dernière équation on aura A en fonction de a: alors p sera donné par p—ATO6—A-TIKÜ- KE, et la tension par la premiére des formules (7) qui devient, dans le cas actuel, T = m0" — m(A' + A") = m(Kt + K,) — m(A + AY.

La composante tangentielle de la vitesse d'un point du fil est p———-——0-—--——hAh-—kK;

elle varie proportionnellement au temps. De plus la courbe suivant laquelle est disposé le fil, c'est à dire la figure de repos apparent du fil, est définie par les équations

q = A'sina + A" cosa, y = — A'cosa + A” sing

Comptes rendus, IO novembre 1879; Bulletin de la Société Philo- mathique, IS novembre 1870.

16 ID: Appell.

dans lesquelles À satisfait à l'équation (15); et cette équation n'est autre chose que l'équation d'équilibre du fil (N° 4) dans laquelle p se trouve remplacé par A et la composante tangentielle ® par 0+ K. En résumé:

Lorsque les forces extérieures appliquées à un fil homogéne dépendent seulement de la position de l'élément du fil et que le fil conserve une figure permanente, la vitesse de glissement du fil est proportionnelle au temps, et la forme permanente du fil en mouvement est la figure d'équilibre que prendrait le fil si la composante normale de la force extérieure restait la même et si la composante tangentielle était augmentée d'une constante égale à l'accrois- sement de la vitesse. de glissement pendant l'unité de temps.

Par exemple, si lon suppose que la seule force extérieure soit la pesanteur, on aura, en prenant pour axe des coordonnées y une verticale dirigée vers le haut,

T0; Y = — 4,

D = — gsina, Y = — 4 cosa; et l'équation (15) deviendr:

9 04

[((A’ + A”) cos a) — (A’ + A") (sim a =, = 0,

d'ou en intégrant

(USE [Br ge ;

Pal A er = tane is i g dE COS || SNe un |

C étant une constante arbitraire. On a alors, pour déterminer A, une

équation linéaire à coefficients constants avec second membre. L'équa-

tion que nous venons de trouver est ce que l'on appelle quelquefois

l'équation intrinséque de la courbe le long de laquelle glisse le fil. En

: T ; 6 SOS Y : effet, la quantité A’ A” est égale à — c'est à dire au rayon de cour- 1 ‘2 94 . bure » de la courbe: l'équation ci-dessus donne donc o en fonction de f e

a: dans le cas particulier où K = o, elle se réduit a

EY eos a

équation intrinsèque de la chainette,

Sur le mouvement d’un fil dans un plan fixe. 17 b) Le fil étant hétérogène, on aura,

om

n f(s) zfn- »"), nel cb. Uo. 2

ou

en appelant f'(s) la dérivée de la fonction f(s). Posons pour’ abreger

et remarquons que

p+p"= A+ A" + 06,

nous aurons d’après l'équation (14)

(16) (4 + Al? — (4 + A") ]o(4 + A" + 6) — (4 + 44")

+ (A + AD + 8") = o.

Telle est l’équation qu'il faudrait chercher à vérifier en mettant pour À une fonction de « et pour @ une fonction de {. Le probléme pourra avoir une solution ou n'en pas avoir suivant la forme de la fonction o. Si @(s) était une fonction rationnelle de s, l'équation (16) serait une rela- tion de la forme (12) du N° 5 et on pourrait lui appliquer les con- sidérations développées dans ce N? 5.

Le résultat est simple si l'on suppose.la fonction (s) égale à une

constante €, c'est à dire | m= et,

-

"On a alors, en posant A’ + A” = p, l'équation

, y? "n A 9 . (16’) cod” + pb supp cni lol 9 qui rentre dans la forme (12) où n = 2, en faisant Ad, A, = old — ep’) — 5 (pP)

T, = cd? + 0", T, = rt.

1 2

Il est impossible que les fonctions A, , A, soient linéairement indépen- dantes, car il faudrait alors que les fonctions 7,, T, soient nulles et on

Acta mathematica, 12. Imprimé le 22 septembre 1888. 3

18 P. Appell.

a T,— 1. Ainsi il existe au moins une relation linéaire homogene a coefficients constants entre A, et A,: d'autre part il n'en peut exister qu'une, car autrement on aurait

ce qui est impossible, la relation p = AU + Ar = Oo

ne définissant pas une courbe mais un point.

La facon la plus générale de satisfaire à l'équation (16’) est done de supposer qu'il existe une relation linéaire homogène à coefficients con- et À,, c'est à dire, de supposer

stants entre les deux fonctions 4,

on aurait alors

D'après les expressions de A,, A,, T,, T, et en faisant k, = bck, ,

on aura, pour définir la figure permanente du fil, l'équation

* (pt) = o,

| 94

— heo + p( 0 — co’) et, pour définir 4, l'équation

c0" + 8" + be — o

d'ou lon tire facilement 6’ par une tangente trigonométrique ou hyper- bolique suivant que la constante D est positive ou négative. Cette so- lution comprend, comme cas particulier intéressant, celle que l'on obtient

en faisant b= — K?, 9 — K.

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 19 Dans le cas particulier où 4 est nul on a 9" I d

Gite =9, 8 — lese 4) + K.

La figure de repos apparent est alors définie par l'équation ."

p (4 — cot) (p) = o,

E m identique à l'équation d’equilibre (page 10).

Remarque. Le probleme de M. LÉAUTÉ et le probléme plus général que nous venons de traiter peuvent encore étre résolus lorsque la force extérieure au lieu de dépendre seulement de la position de l'élément varie proportionnellement quand, z,5, restant constants, le temps / change. Dans ce cas on aura pour ® et #° des expressions de la forme

0=00, VY=6",

0, dépendant de # seul, d, et V, de x,y et a. L’equation (14), pour le cas du fil homogene, donne alors

9

M , nt FA , Hn 9" s IU + amm] — (AHA )| @, NE 2] mu, d'ou l'on conclut, comme précédemment

9 , "mt | | , Aver ] = zc, ood P pag, qr xo La figure de repos apparent est alors la figure d'équilibre d'un fil sollicité par la composante normale 7^, et la composante tangentielle Q, + A; quant à la vitesse de glissement, elle est

& = f &8,dt,

20 P. Appell.

4. Le probleme que nous venons de résoudre est un cas particulier du suivant: *

Chercher sil existe un mouvement du fil pouvant se représenter par le glissement du fil le long d'une courbe de forme invariable animée d'un mouve-

ment de translation, et déterminer ce mouvement du fil sil existe. .

Dans cette hypothése, les coordonnées d'un point du fil doivent s'ex- primer en fonction de « et ¢ par des expressions de la forme

“a= E+ f(a), y = % + g(a),

£ et x étant des fonctions de / seul, f(a) et g(a) des fonctions de a seul. Comme on a :

p = x Sin a —- y COS 4 on voit que dans le cas actuel on devra avoir

. p = sina — y cosa + f(a) sina — g(a) cosa d'ou p = — cosa —» sina + À + 0

A étant une fonction de a seul, €,7, 4 des fonctions de ¢ seul. Nous désignerons par A’, 4”,... les dérivées de A par rapport à a, et par $,35,0,9.,75905.-.. les deériyees) dente UB par rapport sage. Ta forme de la courbe le long de laquelle glisse le fil est définie par la fonction A; car l'équation intrinsèque de cette courbe est

p — p + p" == A' + 5

Le mouvement de translation de cette courbe est connu quand on con-

nait € et 7 en fonction de /; enfin la vitesse de glissement du fil le long

' RovrH, Advanced rigid Dynamics: On steady motion, p. 299.

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 21

de cette courbe est — #. Cette dernière propriété résulte de ce que les projections de la vitesse d'un point du fil données par les formules

générales .

dr ON. op dy ap 9p . = — SIN 4 — — cosa —— = — — COSZ — — SING dtt mera gm

dt ot

ont actuellement pour expressions, d'apres la forme particulière supposée

pour p,

l 7 ar e E — §' cosa,

dy . T —=n — 0'sma; LES UE nn ces. formules montrent que la vitesse d'un point du fil est la résultante d'une vitesse de translation ayant pour projections & et x' et d'une vitesse de glissement — 6’ dirigée suivant la tangente.

Les coordonnées d'un point de la courbe le long de laquelle glisse

le fil sont alors

x —E + d'sina A” cos a, y — v — À’ cosa + A” sina /

> * S-—p-p-434'4-8, pb =p tp" =A + A”.

Comme le fil est en repos apparent par rapport à des axes de direc- tions fixes menés par le point (£, 7) le mouvement relatif du fil par rapport à ces axes est du genre de ceux qu'a étudiés M. Leaure et dont nous nous sommes occupés dans le numéro précédent.

Si l'on suppose m constant, l'équation du mouvement devient

LA — (4 + A')(V + Esin a — 7” cos a)] + (A' + AMD — €’ cosa — sina + 0") = 0

ou, en développant

(17) (A" + A")( + £' sin a — x" cos a)

o EI Lx. i) — (4' + A"y(o— 7 — 28" cosa — 27/'sina + 0 ) = Qu

22 P. Appell.

Il faudrait vérifier cette équation en y mettant pour À une fonction convenable de 4 et pour €,7, 0 des fonctions convenables de ¢.

Si ® et ¥ sont des fonctions rationnelles de x et y, on sera conduit a une équation de la forme (12) que lon traitera comme nous l'avons indiqué dans le N° 5.

Nous allons traiter complètement un cas simple, à savoir le cas où d ct W seraient fonctions du seul angle 4, comme il arriverait par exemple si la seule force extérieure était la pesanteur.

Désignons, comme plus haut, par p le rayon de courbure dA’+ 4” et par o' sa dérivée A” + À" et posons

: 9 4^ : il! / One OS AN =p. ‚(9 a ls A, = p' sina + 29 cosa, A, = — p' cosa + 2p. sina, Do

L'équation (17) qu'il sagit de vérifier est alors de la forme

» -

(13) Jan diam ests hap A me 4,1, O

examinée en détail dans le N° 5. Nous allons reprendre successivement les diverses hypothèses indiquées dans ce N° 5. 15) ST ous Mesh T.

i

T

ne peuvent pas être nuls, car le premier 7, est r. 2°) Supposons qu'il y ait une relation linéaire homogene à coeffi- cients constants entre A, , 4, , A,, A,

kA, ERA REA d uA, — 6.

Alors on a

On peut supposer k, égal à l'unité et on a pour £", 7”, 0" des valeurs constantes

=k, Veh, Oak,

wes

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 23

Quant à la figure de repos apparent par rapport aux axes mobiles de directions fixes menés par le point (£, 7), elle est donnée par l'équation différentielle

A TEA TEE E EA, = o

c'est à dire

: oq k : p T—p( o Tm + k,(p' sina + 20cosa) + k,(—p' cosa + 20sina) — kp =o

qui définit p et par suite A en fonction de a: la détermination de 9 et A est ramenée à des quadratures.

Dans la solution que nous trouvons ainsi et qui est évidente a priori, les axes mobiles de directions fixes menés par le point (£, x) sont animés d'un mouvement de translation wniformément accéleré; la figure de repos apparent du fil par rapport à ces axes est la figure d'équilibre que prendrait le fil si lon ajoutait, aux forces agissant réellement ® et 4, une force (force centrifuge) ayant pour projections sur les axes — k, et — k, et une force tangentielle k,; la vitesse de glissement du fil — 6' varie proportionnellement au temps. Ce résultat s'applique immédiate- ment au mouvement d'un fil homogène pesant dans un plan sur lequel il glisse sans frottement.

Nous pouvons, par exemple, appliquer cette méthode au probiéme traité par M. Rourx dans l'ouvrage déja cité Advanced rigid Dynamics, page 300, $ 525 Form of an electric cable, probléme qui peut s'énoncer ainsi: Un cable est déposé sur le fond horizontal d'une mer par un bateau animé d'un mouvement rectiligne uniforme, la longueur du cable déposé pendant un intervalle de temps quelconque étant égale à la quantité dont avance, le bateau dans le méme temps; trouver la forme du cable supposée permanente.

D'aprés l'hypothése, cette forme du cable est permanente par rapport à un systéme d'axes mobiles situés dans un plan vertical et entrainés avec le mouvement du bateau. L'origine (5,7) de ces axes sera donc animée d'un mouvement rectiligne uniforme et en prenant un axe des z

horizontal on aura

24 P. Appell.

c désignant la vitesse du bateau. La vitesse de glissement du fil le long de la courbe géométrique suivant laquelle il reste disposée étant égale à

€, On a 0 — c, 9 — ct.

RH -

Les quantités z", &’, 60" sont done nulles actuellement ainsi que les con-

stantes k,, k,, k, et l'équation définissant la figure permanente du fil est

pr— p02") — o.

Supposons que la résistance de l’eau sur un élément du cable soit dirigée

2? 4

en sens eontraire de la vitesse de cet élément et proportionnelle à cette vitesse, et appelons g' la pesanteur apparente du cable dans l'eau: les composantes tangentielle et normale de la résistance seront de la forme — pvo et — pu, v et u désignant comme précédemment les composantes tangentielle et normale de la vitesse d'un élément; puis les composantes tangentielle et normale de la pesanteur g’ seront

— (f sina, — 4/ cosa. On aura done Ys P n Op Oo = — 9 8a) Bile fae D — — q' cosa — pu = — g cosa + yee | f C) Pi car Op 9 Y AG cnni Me CHUA ot ot > Comme actuellement p = — €&cosa — y sina + A+ 0 — — et cosa + À + ct, on a op op’ : — = —— €COSa C — — csing 9t dr ot :

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 25

A]

et il vient

D — — g'(sin a + e cosa — e), U" — — g'(cos a — e sin a) en posant "uc e ——

L'équation différentielle devient alors

(|. 2sina + 2ecosu—e p COS 4 — e sin 4 (ER d'ou : E da logo = — 2 log (cosa — esina) — e | ——————— cos 4 — esing — e = a Vite G yl + e—e— tg = 0 = — ; zc — : ! (cos a — e sina)” —— >

DIR

ce qui est l'équation intrinseque de la courbe.

3°) A côté de la solution générale précédente qui convient quelles que soient les expressions données de ® et 4 en fonction de a, il peut sen présenter d'autres pour des lois particulières de forces. Nous les trouverons en supposant qu'il existe entre les fonctions A, , 4,, A,, A, deux relations linéaires homogènes distinctes à coefficients constants

kA, Told Edo k,A, = 0 hA, +h, A, + hA, + hA, = o.

Nous verrons, dans l'examen du cas suivant, que k, et /j ne peuvent pas être nuls en méme temps; on peut aussi s'assurer que les déterminants

kh, — h,k,, kh, — hk,

ne peuvent pas être nuls en méme temps, car s'ils étaient nuls on aurait, en éliminant 4, entre les deux relations supposées,

(kh, — E) A, = o

Acta mathematica. 12. Imprimé le ?4 septembre 1888. 4

26 P. Appell.

d'où

AIO, puisque les deux relations supposées sont distinctes. Mais 4, qui est égal à — o, ne peut pas être nul, donc les deux déterminants

kh, — hk, kh, — hyk,,

ne peuvent pas être nuls en méme temps. Supposons le premier de ces déterminants différent de zéro et résolvons les deux relations linéaires par rapport à A, et A,: nous aurons

== ui 1 AIC ACE A, = H,A, + E, A,

nn - co

A

C,,C,, E,, E, étant des constantes. En remplaçant A,, A,, A, par leurs valeurs, on écrit la premiére de ces relations (18)

f! sing + 2p cos a = C,(— p' cosa + 2p sing) — Cp ou en posant

C, — tg f, C, cos B = — c,

1

on à p' sin (a + ff) + 20 cos(a + f) — co = o.

Intégrons cette équation et désignons par @ une constante, nous ob-

= G a + ÿ\7° LE SECTETUR & ( 2 ) | :

ce qui est l'équation intrinsèque de la courbe le long de laquelle glisse le fil. Cette valeur de o devra vérifier la seconde des équations (18). En exprimant ce fait, nous aurons une relation entre les composantes @

tiendrons

et 7; de sorte que, comme nous l'avons déjà dit, le cas actuel ne peut se présenter que pour certaines lois spéciales de la force extérieure. Pour obtenir, sous la forme la plus simple, la relation entre @ et

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 27

VU, remarquons que l'on peut toujours faire tourner les axes de façon à amener la constante # à être nulle: alors

| | Y d Y = > | C, = o, C, = —c j (AN: N = to ) . à f sin’ 4 ( or La seconde des équations (18) devient si l'on y remplace 4,, 4,, A, par leurs valeurs "ap à 4^ E rie a, Boe m VL. ot — pl d Tu ) = E,(— p' cosa + 2p sina) — E,p; ee : p : : | d'ou lon tire, en remplacant ; par la valeur que l'on vient de trouver i " , ^ . 2 : p 6 —2 GOS;4 : pov sina : j 9 ES. : (19) (4+ E, cosa)(c — 2 cosa) — ( D — T 2 E, sina — E, | sina = o. Telle est la relation qui devra lier les composantes @ et X. : Les relations (18) donnent, puisque C, — o et C, — — c, LA ni rl 1 A,— —cA, | A,— E,A, 4- E,A, t i et en portant dans la relation v

dn]? Pea FE AT = (ALT =o; AE, T: + ARE A,(E, Ee Gh 2 =

Mais, les fonctions A, et A, étant linéairement indépendantes, cette rela- tion ne peut avoir lieu que si l’on a simultanement

ENTER ro, ELI CT HT = 0

E nter c wo

c'est à dire,.en remplaçant T°, 7,, T,,.T, par leurs valeurs 1, €", 7”, 9"

E, + 7' — o, E, A ce’ + 9" == O;

bo

8 P. Appell.

d'ou lon tire enfin

y — —,BEfü + Bit + Ey Bo RU CNE

E;,E,,E,,E, désignant des constantes arbitraires.

On voit que » est une fonction du second degré de /; quant à & on peut le choisir arbitrairement en fonction de £, 4 est alors déterminé par la seconde des équations précédentes.

Ainsi, en supposant les composantes ® et 4'liées par la relation (19), on aura un mouvement permanent du fil dans lequel le fil est constamment disposé suivant la courbe ayant pour équation intrinsèque

G a\° CRE MUI 1 Sin” 4 | E :) et glisse avec une vitesse — 6’ le long de cette courbe supposée in-

variablement liée à des axes mobiles de directions fixes passant par le point (£, 7).

Cette solution pourrait aussi étre obtenue par la théorie du mouve- ment relatif associée à la remarque de la page 10.

Elle sapplique au cas important ou la seule force donnée est la pesanteur: en effet on a alors

D = — gsina, Y = —gcosa,

de sorte que la relation (19) est vérifiée si lon fait

ge IUE

d'ou

1 sey Cette courbe est celle que nous avons déjà trouvée à la page 16.

e

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 29

€ étant une fonction arbitraire de ¢. On peut done dire que l'équation du mouvement d'un fil homogène pesant dans un plan fixe

9 op 9p"? y apf yal 1 D ts (OP v A le: + A.) —(p +p Mera — 4 cosa) | + (p'-+ p (s —g sin a) — 0

admet l'intégrale p= — cosa — ysina + À + 0 c'est à dire

p = Ele — cosa) — | À IU I 4| sina + A + ct + c"

ou & est une fonction arbitraire de t,c,c,c” des constantes arbitraires et A une fonction de 4 définie par l'équation

] 5

sin” 4

gunt quib tne

DIR

ce qu'il est aisé de vérifier directement.

4°) Enfin, s'il existe trois relations linéaires homogènes à coefficients constants entre 4,, 4,, 4,, 4, ou deux relations linéaires homogènes à coefficients constants entre A,, 4,, A, on en déduira

A, — A, = A, ky k, I, k,,k,,k, étant des constantes, c'est a dire p sing + 20 C0S4 — —p' cosa + 2p sing om Ê = Lm I, i, Ie,

d'ou lon tire par l'élimination de = une valeur constante pour a, ce qui 4 est impossible puisque, dans tous nos calculs, « est pris pour variable indépendante. Cependant ce résultat suggére lidée que le fil peut affecter la forme d'une ligne droite de direction fixe. On verra sans peine si un pareil mouvement est possible en cherchant à vérifier les équations primitives

(1) en posant © — Ë + scosa, y = 7 +ssina 2

i 30 P. Appell.

a étant une constante, s l'arc de courbe et 5,» des fonctions de ¢; ce qui n'offre aucune difficulté.

S. On résoudra de la méme facon d'autres problémes analogues aux précédents.

Cherchons, par exemple, en supposant que la force extérieure ne dépende que de la position de l'élément, si le mouvement du fil peut étre représenté par un glissement le long d'une courbe restant homo- thétique d'elle-même par rapport à l'origine.

Pour que les deux droites

z sina — y cosa = F(a) x sina — y cosa = Fa) enveloppent des courbes homothétiques par rapport à lorigine, il faut

et il suffit que l'on ait F(a) = EF(a)

k étant le rapport d’homothetie. Nous avons écrit l'équation de la tan- gente au fil x sing — ycosa = p';

quand ¢ varie, p' devra être multiplié par un facteur indépendant de a; p sera done de la forme

et p de la forme p = A80 + 0, A étant fonction de «, 0 et 6, fonctions de ¢. Alors s = p +p” —(4 + A0: + 8, pg drg-(A + 4")8, x = 6(A'sina + A” cosa)

y = 0(— A’ cosa + A" sina);

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 31

et l'équation du mouvement devient, en faisant » constant 9 , , , , m Pr , ^r 2 (t4 + AN + 0]? — eu + ANY 8) +94 + A")(0 + A0" + 67) = o. Les quantités 9 et % sont supposées fonctions de z,j,a:

o

Q(r,y,«) = O[O0(A'sina + A"cosa), 0(— A'cosa + A"sin a), a] D

I

Va,y, a) = V[0(A'sina + A” cosa), 0(— A'cosa + A” sina), a].

Telle sera l'équation qu'il faudra vérifier par une fonction A de a et des fonctions 6 et 4, de ¢. Il pourra se faire qu'il n'y ait d'autre solution que celle qui consiste & supposer @ constant: on retombe alors sur le probléme de M. LéauTÉ (N° 6). Un cas particulier digne d'être signalé est celui où ® et W'seraient homogènes en x et y; alors une certaine puissance de 6 se mettrait en facteur devant ® et V, et l’équation à vérifier rentrerait dans le type (12). ;

Nous nous bornerons à traiter le cas où il n'y a pas de forces ex- térieures: 9 — V'— o. L'équation peut alors s'écrire

(20) 20°(A + AA + A") + (005 + 20'8)(A" + A") + 8e"[(4* + A”)(A — A") — (4" + 4)4]—0, :

relation du type (12) où on ferait n= 3 et

T pgs T 891 260, » T, = 86"

Sad and PA"), nerd] nde b A

b. |

E = (A’ + AA —— A”) = (Ax -E Am Ar.

Les quantités T°, T,, T, ne peuvent pas étre linéairement indépendantes, | 1? 2.7 3 I car A,, À,, A, devraient être nulles ce qui entrainerait

A! + A"! — o,

et la valeur correspondante de À ne définirait pas une courbe mais un point.

32 P. Appell.

De méme les quantités A,, A,, A, ne peuvent pas être linéairement indépendantes, car T,, T,, T, devraient être nulles, ce qui entrainerait

DE () — const.

et on retomberait sur le probleme de M. L£AvTÉ (N° 6). Supposons que les quantités 7,, 7,, T; soient liées par une relation linéaire à coefficients constants:

k, 0'* + k,(80; + 200) + 5,06" =o, alors on aurait

2(A X AD AU) FA A td Edo rs Ae p k = k I ;

1 2 3

les deux premiers rapports fournissent une relation qui exige A’ + A"" — o,

ou A AY — SL. cest à dire aussi A’ + 4” — 0: cette solution avec luo

l'hypothèse qui lui a donné naissance, doit donc étre rejetée.

Il ne reste done plus qu'une maniére de vérifier l'équation (20),

c'est de supposer que les quantités À,, 4, , A, sont liées par une relation linéaire à coefficients constants

(21) 2e (A AN AE A) EE eU qe in) + 14,3 2a) Zn Aa A) A

alors on aurait

0* 00,--20 0; 06" (22) ST = +. 6 C, ja Comme 6, n'est pas nul, posons e c E = € 2 3 nous aurons 20' [22 ——C——0 [7] 0 4

d'où, aprés deux intégrations bien faciles,

(23) 8 — k(t-- Sy?

—— ÀJ — à

Sur le mouvement dun fil dans un plan fixe. 33

en supposant c différent de 2. Dans le cas particulier où c — 2, on aurait

(24) B dete Quant à la fonction 6,, elle est donnée par la relation 00; + 20'0; = a00"

dans laquelle on à posé

On en tire : aly b = ii à. c + I [7]

b étant une constante arbitraire, d'où enfin 6, par une quadrature im-

médiate 8, — 84b lis On déterminera À à l'aide de l'équation (25) c(A + A"(A' + A”) + a(4' + A”)

+ (A’ + À'")(4 mat A!) — (A" + A AY — O, En écrivant cette équation c(A + ANA + 4) + a(A’ + A”) — [A + A”) A” + (A" + A") AT + AA’ + AA" = o,

on reconnait que l'on peut intégrer tous les termes et l'on obtient l'inté- grale première

(26) e(A+ A")! J- 2a(A + A") — 2(A’ + A”) A+ A* — A? 244" — f,

f étant une constante arbitraire. La détermination de À est donc ramenée à l'intégration d'une équation du troisième ordre et comme cette équation ne contient pas la variable indépendante, elle peut se ramener au second ordre.

Acta mathematica, 12. Imprimé le 24 septembre 1888. 5

34 P. Appell.

Cas particulier. Supposons la constante a nulle. L'équation différen- tielle qui donne À se réduit alors à l'équation

(27) e(A + AA + A”) + (4* + 4”)(4 — A”) —(4" + ANA = 0

homogène et du second degré à coefficients constants. Si l’on essaye de vérifier cette équation par une fonction de la forme

A = Aer où À et x sont des constantes, on obtient pour déterminer x l'équation (1.12%) 220 Be) re B qui, aprés suppression du facteur x(1 + x") donne

c(1 + x) + 1 — 2x7 — o.

Ainsi en supposant

2 NT e=—— IN LE l'on a la solution A = 2e". La valeur (23) trouvée pour 6 devient

1-—2x?

B Kei eras

et celle de 6,

4x*4-1

Ner Medios bip . & b ee M.

Done enfin 1—2x 4x7+1

p= A8 + 0, = pe@(t +1)’ +v(t +4) ?

j et » désignant des constantes arbitraires. Pour voir quelle est la forme de la courbe à l'instant /, calculons les coordonnées x et y par les formules

x = p'sina + y" cosa, y = — p' cosa + p" sina,

nous aurons

1—2x* a — nxe"(t + t,) * (sina + x cosa)

1--2x?

y = pre (t Li) ? | (— cosa + x sin a),

dp cm :

2

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 95 ou, en coordonnées polaires, en appelant A le 'ayon vecteur et 0 l'angle

- I polaire et posant ; B^

= 1—2x*

R= pr + ce*(t + 4) ?

— cosa + xsing

d sina + zcosa — tg (a — 4), d'ou a—= a, +0 et enfin » : 1—2x? R = pri + PEM! +1)’, — à

équation d'une spirale logarithmique. En écrivant

1—2z* = «[? +ag+ — log (¢ Ho] R = Lx Vi de xe ax ,

on voit que, quand £ varie, cette spirale tourne autour de l'origine avec une vitesse angulaire © donnée par la formule

2

— 2x* I

3x HE

(d I uem ropas DE (6 4-4) =

En méme temps que cette spirale tourne, le fil glisse sur la spirale. La tension 7 est donnée par la formule

Re 'ep op” 7 ET n ap, r-(T.T) CES DETTE en y remplaçant p par la valeur trouvée 1—23x? 4x*--1

p —e€6*8.-r6,-— pet +2) * Hé + Eh”.

Zona s s *

= [(1 + x )e B +- a — x'(1 + )e 80", ou, en réduisant à l'aide de la relation

00" = a + x) 0’,

23x. XI

= 4 2(1 + dert + 6°.

36 P. Appell.

Remarque I. Lorsque x est nul c'est à dire c égal à — 1, l'équation qui donne À admet la solution

Fil = G2

et la valeur trouvée pour p devient

p — (pa + v(t + t).

Le fil est alors disposé suivant un arc de cercle de centre O et de rayon variable |

Rn

Cette expression de our le cas où x = o, s'obtient facilement comme I m , limite de celle qui a été trouvée dans la supposition x 2 o. Remarque II. Pour obtenir la solution que nous venons d'étudier,

nous avons posé

2x' — I 2 Hoe (f m T X — Tau) pes cette solution n'est admissible que si c est compris entre — I et 2; car

si c était en dehors de ces limites x deviendrait imaginaire ainsi que la

x0.

valeur Ae" trouvée pour A: les expressions trouvées pour 6 et 6, con-

viendraient encore, car elles ne dépendent que de x”. Par exemple, si c — — 2, la valeur de x est 2 jr: dans ce cas, l’equation (26) dans laquelle on pose d A —oM

se transforme en la suivante

wu’ +u= —f

qui donne immédiatement uw = 2Gcosa + 2H sina — f

G et H désignant des constantes. La fonction A est alors donnée par l'équation

(28) A? + A? = 2G cosa + 2H sina — f;

co -1

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe.

d'ailleurs les valeurs de 60 et 4, deviennent, puisque

I x! E Vua Ü = — 2, "di b MEE ULP EE | a = plog(t + 4);

d'où, pour p une valeur de la forme vl p = kAG +4) + hlog(t + ¢,), A étant donnée par l'équation (28). Pour des déterminations convenables de G, H,f cette équation (28) admet une intégrale de la forme

[74 net? AT COS > + M sin >

L et M désignant des constantes.

Les mêmes méthodes permettraient de trouver les mouvements du fil qui consistent en un glissement du fil le long d'une courbe de forme invariable animée d'un mouvement de rotation autour d'un point fixe du plan. Mais nous ne nous arrétons pas à cette question et nous passons à l'étude des oscillations infiniment petites.

II.

Oseillations infiniment petites autour d’une position d’equilibre stable.

9. Supposons que l'on ait vérifié les équations d'équilibre (11) en y mettant pour p une fonction p, de « et pour 7' une fonction 7, du méme angle: nous appellerons o, le rayon de courbure de la figure d'équilibre exprimé en fonction de a, et s, lare de courbe exprimé en fonction de a, de sorte que

11 E —— 5 il da

enfin la densité m qui est une fonction donnée de l'arc, sera dans l'équi-

38 P. Appell.

libre une fonction de « que nous désignerons par »4. Si l'on écarte le fil trés peu de cette position d'équilibre supposée stable, et si l'on im- prime à ses points des vitesses trés petites, le mouvement du fil con- sistera en de petites oscillations autour de la figure d'équilibre. Dans ce mouvement qui est défini par les équations (7), p conserve une valeur voisine de p, et 7’ une valeur voisine de 7', de sorte qu'on pourra poser

p—pn-ts, TE CIS

s ct W étant des fonctions de « et / qui, ainsi que leurs dérivées, con- servent des valeurs trés petites pendant toute la durée du mouvement. En substituant ces valeurs de p et T dans les équations du mouvement et ordonnant suivant les puissances croissantes de e, W et de leurs dé- rivées, on aura d'abord une partie principale qui sera nulle en vertu des équations d'équilibre, puis, en négligeant les termes d'un ordre su- — périeur au premier par rapport aux fonctions e, W et à leurs dérivées, on aura deux équations linéaires donnant ¢ et W en fonction de a et f. Si lon substituait la valeur p — p, + = dans l'équation (8), on aurait, par cette méme méthode, une équation linéaire du quatrième ordre don- nant ¢ en fonction de a et f.

Il.sera facile de faire l'application de cette méthode au cas ou les forces ® et ¥ dépendent seulement de «. Mais, dans l'hypothèse actuelle, (0 et ¥ ne dépendant que de a), on arrivera à des équations plus com- modes en partant des équations du mouvement sous la forme (10). Affectons de l'indice 1 les valeurs des quantités € , 5, 9, m dans la po- sition d'équilibre, toutes ces quantités étant supposées exprimées en fonc- tion de a; et désignons par 31, 8,91, les dérivées de ces quantités par rapport à la variable « dont elles dépendent uniquement, de sorte que s; —p,. Les équations d'équilibre seront, d’après (10) 1

|^ uu pL Wd v

m" 90 vm,p,

2 T - 2s 2 ATI.

=, 20 vm, p,

Dans le mouvement oscillatoire, les valeurs de 3 ,5,,, different peu de.& 1, Som web lon peut poser

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe.

T—T + VJ, = s +2, PP, Toe,

on aura donc

mp — mp, + Mo + om; — m,p, + (om),

(om,) désignant la dérivée du produit om, par rapport à a; par con-

séquent

E ' 2 I I (om,) .

I I | Tee (am, )

] I ; ymp v map, mp;

ua NE 3 ULT UR (m.p, )*

En faisant les substitutions précédentes dans les équations du mouvement

(10) et tenant compte des équations d'équilibre (29), on obtient les deux

équations suivantes

/ eR, hc eR atis cu 2*3, —)—-$S (Ri? ——/)— R — +- Ri’ — V(R, “in 5) ;&l A 1 24? ) R, 94? 2 1 du: (30) 3 3E p sek, 1 9% ui da BE: a m, 9L

dans lesquelles on a posé pour simplifier

ei

s ñ oc 1 yn, 94

Dans ces équations /,, 3, et m, sont des fonctions connues de a: l'inté-

gration de ces équations donnera V et r en fonction de a et f.

Ayant

trouvé c en fonction de a et /, on aura o — —- et, par suite, la formule

1

s—s-eck

donnera l'expression de l'are du fil en fonction de a et ¢, c'est a dire

l'équation intrinséque de la courbe suivant laquelle est disposé le fil au

40 P. Appell.

temps f. Les coordonnées d'un point du fil seront données en a et # par les quadratures

a = [ds cos a -— COS a + [do cos a =a, +6& y — [ds sin a = fds, sina + [do sina — y, + 7;

x, et y, étant les coordonnées d'un. point de la figure d'équilibre ex- primées en fonction de a, et € et » les différences trés petites qu'il y a entre les coordonnées de la position qu'occupe à l'instant ¢ le point du fil où la tangente fait avec l'axe Or un angle à et les coordonnées de la position qu'occupe dans l'équilibre le point où la tangente fait avec laxe Or le méme angle. En faisant les quadratures qui donnent £ et 7

& == [doe cosa, 4 = [do sin a

il faudra ajouter aux seconds membres des fonctions arbitraires de #. Comme on a en général

5 ai! Sip s D » on aura

SO puc pisce, uec eer

relation qui donnera e quand on connaitra a en a et f.

10. Exemple. Supposons que la seule force extérieure soit la pe- santeur: alors D = —gsina, Y = — $9 cosa

y + P=0, p d — o.

Les équations d'équilibre donnent

= I — IK. Tr —— G cosa; ym,Pp,

T x

1

K et G désignant des constantes. Puis les équations (30) du mouvement oscillatoire deviennent

GE tae ie NUR Sy COST Lm s e COS — 1 + "ut ) Xn 24°

eV I 0°r 2G COSa— = — — —. T du m, 9t*

- Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 41

Si l'on effectue la différentiation A cos” a) indiquée dans la premiere a équation et si l'on divise tous les termes par cosa, on peut écrire cette équation KG”? o*V

— (7 cos’ a — 37" sin 2a — 47 cos 2a + 27) + zin 4 [/

Cette équation est immédiatement intégrable et donne

KG? 4 : OV res = (7" cos? a — 27 sin 24 + 27) + — =— Fit),

2 0a

(31)

: F(t) désignant une fonction arbitraire de ¢. La seconde équation secrit,

I en remplaçant — par sa valeur G’p, cos’ a, m 1

eV Gp, cos a 9*c (32) GR Am oe

= us ; 3 Re ; ol

On a ainsi deux équations donnant V et r. L'élimination de zm donne [/4

pour déterminer z l'équation du second ordre

2

(33) KG(z" cos? a — 27 sin 2a + 27) — p, cos a, = F(t). Connaissant 7, on a V par une quadrature. La tension 7' est liée a I par la relation

T mp = 1"

si lon appelle, comme plus haut, 7, la tension dans l'équilibre et T, + W la tension pendant les oscillations, on aure

à mE Ve T EM + pu———— 3 an Dr E mp, c vm,p, , x , I Y d'où, en développant et remplaçant —— par sa valeur 6G cosa,

NIST

KG? b ,

(34) V = G cosa.W — cos’a.7, 2

équation qui donnera W.

Acta mathematica. 12. Imprimé le 25 septembre 1888. 6

42 P. Appell.

Dans l'ouvrage intitulé: Advanced rigid Dynamics, by E. J. Rourn (London, Macmillan and Co. 1884) la question des oscillations planes d'un fil homogène pesant autour d'une position d'équilibre se trouve traitée par une méthode particuliere, conduisant aux résultats suivants (loc. cit. p. 311). M. Rourx prend pour variables indépendantes le temps ¢ et l'angle « que fait la tangente en un point P du fil avec l'axe des coor- données x dans la position d'équilibre. Soit ç langle que fait la tangente au point P à l'instant ¢ avec la position qu'occupe cette tangente dans léquilibre, U la variation que subit la tension au point P quand on passe de l'équilibre au mouvement. Les quantités g et U sont des fonc- tions de a et ¢ qui restent trés petites pendant le mouvement. M. hovrH donne pour déterminer ces fonctions les deux équations

4 coe ea = ea (3 5) cos a dt? J da "da w

0 d'e d'e x d (- cos J de d? ( U cosa

w

dont la seconde est iminédiatement intégrable et donne

(36) dr

w

d (RES) = agg + C,

C désignant une fonction arbitraire de ¢. Dans ces équations w est une constante et o, désigne le rayon de courbure de la position d’equilibre exprimé en fonction de a.

Pour comparer ces équations à celles que fournit la méthode géné- rale dans le cas ou la seule force extérieure est la pesanteur, cherchons comment les variables que nous avons appelées 7 et V sont liées à ¢ et U. Dans nos équations Tart s est une fonction de a et ¢

s=s, + o — s,(a) + o(a,t)

en mettant les variables en évidence. Dans léquilibre la longueur de lare jusqu'au point P est

puisque g est alors nul. Pendant le mouvement l'angle « que fuit la

Bur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 43

.tangente au. méme point P avec l’axe Ox est à + e; on a done aussi, à l'instant. ¢

s — s (ad g) + o(a ^ ef)

d'où, en développant par rapport aux puissances de c et ne conservant que les termes du premier ordre

s— (a) + me + ala, t.

En égalant cette expression de s à la précédente, on a

PP + ofa, 0) — o,

o mg ie

p mp, 5 mp, À Mais, dans la position d'équilibre on a

I mo = =—— uh G* cos? a’ done enfin e et c sont liés par la relation (37) oe = — Gr cos! a.

De méme en appelant 7T, ou 7\(a) la tension dans l'état d'équilibre en

fonction de «, nous avons posé pour le mouvement T — T, + W — T(a) + W(a, t) done, au point P ou la tangente fait avec Or un angle 4+ ¢, on a

dT.

da

T — Tia + e) + Wa + e, — Ta) + e c + Wa, 0).

Cette valeur de la tension est ce que M. Rovrm appelle 7; + U; on à done ©

aT U — rw. im i da ou bien, comme TRE p = — (Pr cos’ a. 1. G cos a’ ? £

U = — KGrsina + W.

44 P. Appell.

Si l'on multiplie cette relation par G cosa en tenant compte de la rela- tion (34) qui lie W à V, on a

KG'^z cos’ a

GU cosa = — KG^csina cosa + = + V ou KG? > GU cosa — Jon EUN E 2e uiri

et enfin, d'aprés la relation (37),

Kd (38) GU cosa = ue Ces formules (37) et (38) donnent nos variables + et V en fonction des variables e et U de M. Rourn: elles permettent de passer de nos équa- tions à celles de M. Rourn ou inversement, comme on s'en assure aisé- ment en donnant aux constantes les valeurs correspondantes

7j m ge = Kos

Remarque. Quoique notre variable « ne soit pas la méme que celle que M. RovrH désigne par la méme lettre, les équations obtenues avec les deux systémes de variables sont identiques parce que ce sont des équations approchées. Kn effet appelons a l'angle que fait la tangente au fil en un point P avec Ox dans la position d'équilibre, et « ce que devient cet angle au temps ¢: on aura

a — a + 9.

Dans les équations de M. RovrH les variables indépendantes sont a et ¢, dans les nôtres a’ et ¢. Si done F est une fonction de a’ et ¢ on pourra Yexprimer en « et / en y remplaçant a’ par sa valeur a + e et lon aura, si l'on désigne par la lettre à les dérivées partielles dans le système | de variable «,/ et par d les dérivées partielles dans le système des va- riables a’, ¢

94 da

ay) oF dF , dF 5 X LE LI

or dF i ( 04 / 9

Mais si F est une fonction qui reste trés petite pendant toute la durée

Cx

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 4

du mouvement, comme ies fonctions appelées U, V, W, 5, 7, ¢, on aura en negligeant les termes du second ordre

°F dr oF ak

94 n da! 1 ot dt comme si les variables « et o' étaient les mêmes. Aussi, dans tout ce qui suit, nous continuerons à désigner ces deux variables par la même lettre « en les confondant lune avec l'autre.

11. Etude de l'équation différentielle. En faisant comme plus haut Qh Ux 52 g = — @’rcos’a

et désignant par f(t) une fonction arbitraire de /, on ramene l'équation (33) à la forme donnée par M. Rouru

3° OK (40) at 4p ——. F = f(t),

g cosa

^, étant une fonction connue de a. Tout d'abord, si ¢ est une solution de cette équation pour une

: A . A : 9 E certaine détermination de la fonction f(t), la fonction = est une solution + ; dcc PR NT à de l'équation obtenue en remplaçant f(t) par la dérivée 76 de même

œ

la fonction fet est une solution de l'équation obtenue en remplacant f(t) par lintégrale foa, à condition que la fonction arbitraire de a qui figure dans l'intégrale feat soit convenablement déterminée. Si ¢,

et c, sont deux solutions correspondant aux déterminations f(t) et f,(4) de la fonction arbitraire /(t), la fonction

Qc À zi INA

sera une solution correspondant à la détermination Àf + 2,f, de la fonction f, A. et A, désignant des constantes quelconques. La combinaison de ces deux propriétés permet de déduire de chaque détermination. de f(t) pour laquelle on connait une solution de l'équation, une infinité d'autres déterminations de cette méme fonction avec des solutions corres- pondantes.

46 P. Appell. >

Cherchons si l'équation (40) peut admettre une intégrale de la forme op — AG

A désignant une fonction de a et @ une fonction de / dont les dérivées respectives seront appelées A’, A", 0', 0". Nous aurons en substituant

” 7 O(4" + 44) — 7 — f(t) = o, équation qui rentre dans la forme (12). Suivant la méthode employée au sujet des équations de cette forme dans le N° 5, deux cas sont à distinguer 1°) Supposons qu'il y ait une relation linéaire à coefficients constants entre les fonctions de a

: ^" A (41) A” + 44, £1 G cosa’ +? relation de la forme kA" + 44) ip + 0, l'on devra avoir Br Ah Glial Ane). i, k, ke d'ou en écartant le cas de k, = o c'est à dire de f(t) = 0, cas que nous examinerons à part, f(t) = Acos xt + p sin xt, i) E Rd cos xf + p Sin xf)

3

ou x est la quantité

jfi k,

et A, des constantes. Comme l’on peut, sans changer la solution e = 46

I , fi : a 3 remplacer A par — A Pr et 9 par — 3 on voit que, si f(t) est de la 1

g

forme À cos xt + p sin x{ on aura une solution en prenant pour 6 la quan-

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. | 47

tité Acoszt + psinx et pour A une intégrale de l'équation linéaire avee second membre

(42) | A+ 44 + x 4 — x.

g cos 4

On en conclut une intégrale de l'équation aux dérivées partielles pour le cas plus général où f(£) serait de la forme

i=n

f(t) = XA cos xt + p, sin x,t,

i=] À, iy X, étant des constantes. Cette solution sera

i=n

Em 2 A,(À; cos x,t + pi sin xt) = ou 4, est une intégrale de l'équation (42) dans laquelle x possède la valeur x.. 2°) Supposons qu'il y ait, entre les fonctions (41), deux relations linéaires homogenes à coefficients constants

Pi A

A" +44 =k,,

gesa , * Alors, en intégrant la premiére on a

44. =k, + À cos 2a + p sin 2a

4gk, cosa k, + À cos 24 + sin 24

(43) f^

Ce cas ne peut done se présenter que si la densité du fil suit- une loi d'aprés laquelle l'équation intrinséque de la figure d'équilibre soit de la forme (43); c'est ce qui arrive par exemple si la figure d'équilibre est une cycloide (A = y — 0). Les fonctions 0 ; 0" et f(t) sont, dans l'hypo-

LA thése actuelle, liées par la relation. unique

k,0 — k,8" — f(t) = o

qui donne immédiatement 6 quand on a choisi /(f), car cette relation est, par rapport a 6, une équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second. membre.

48 i P. Appell.

Cas particuliers. Supposons que la figure d'équilibre du fil soit symétrique par rapport à une verticale et que les deux points d'attache du fil soient à la méme hauteur: alors, si les conditions initiales sont symétriques par rapport à cette méme verticale, la symétrie persistera pendant toute la durée du mouvement. Dans ce cas la fonction arbi- traire f(f) est nulle comme le montre M. RovrH. En effet ç est alors une fonction impaire de a, p, une fonction paire de «: ce qui exige f(t) = o. L'équation devient donc dans ce cas

9g p, 9g (44) as C AP T Geos aad! © Si lon pose, comme ci-dessus p

A dépendant de a seul et 0 de ¢ seul, on aura nécessairement

n kp, == (45) zw base eee 0" —k0 = o

k désignant une constante arbitraire. Soit "Ace cea th)

une intégrale impaire en a de l'équation (45), l'équation aux derivees partielles (44) admettra l'intégrale impaire en «

ky ky g — [ à) cost VE (dk + f ola, E) sin t y — 1 f, (h)dk ky ko avec deux fonctions arbitraires f, et f,. Parmi les cas où l'équation (45) se ramène à des formes connues, les plus simples sont les suivants 1) o, — acosa. La figure d'équilibre est une cycloïde; ce cas se trouve examiné dans l'ouvrage de M. Roux (loc. cit. p. 313).

2) 5 = x'sn'a cosa + hcosa, x étant le module de la fonction el- €

liptique sna et k ayant la valeur

n(n + 1), n désignant un entier queleonque. L'équation (45) est alors une équation de LAMÉ

(46) A" = [— n(n + 1)x! sn*a + kh — 4]A

BLATT

ET

owe

Der

Sur le mouvement d'un fil dans un plan fixe. 49

et & posséde la valeur 9: — À, cos /n(n + 1) + u Sinfyn(u + 1).

Soit d'après la methode de M. HruwrrE f,(4) une solution de l'équation de LawÉ (46); la fonction f,(— a) sera une autre solution et

f. (a) — f. C— a)

sera une solution impaire de l'équation. Alors la série

nz c

c -l [A, cos Fn (n + 1) + pt, Sin tva (n + DA (2) — f. (— ©]

définit une fonction impaire de a satisfaisant à l'équation aux dérivées

partielles: pour ¢ =o cette fonction et sa dérivée par rapport à f se

réduisent aux valeurs

(e) = z A f. (a) — f.(— a)],

2c n-—«u ter] = > ot 0

n=0

Bat + DU (a) — f. C— @))-

5 à che NES (do : Comme, d'après les conditions initiales (c), et ipe sont donnés en \ 0

fonction de a, on connaitra les coefticients A, et w, de ces développements

-et, par suite, l'intégrale c.

Soient

ces fonctions seront impaires en a à cause de la symétrie supposée. On est done ramené à ce probléme d'analyse: développer une fonction impaire de x donnée entre les limites — a, , + a, en série de la forme

na

Alle) — f. C— 9)1

convergente entre ces limites.

Acta mathematica, 12, Imprimé le 27 septembre 1888.

50 P. Appell.

^. B + Csina Ms D sin*a

P, - , B,C, D étant des constantes; dans COS 4

ce cas, l'équation (45) prend la forme

a+bsina + esiu’a 4

AU s

- == 6)

COS 4

a,b,c étant de nouvelles constantes; et cette derniere équation se réduit facilement à celle de la série hypergéométrique de Gauss. En effet, en faisant d'abord un changement de fonction et posant

FE CON e. te" (© — 2). Z, Tee Z étant la nouvelle fonetion inconnue, on pourra déterminer les exposants à et y de facon que, dans l'équation en Z, le coefficient de Z soit égal à celui de Z" multiplié par une constante »; il suffira pour cela de vé- rifier les trois équations

pg -—AÀ—v»—a, p — 2àÀp = —b, = —» —0c

qui déterminent 2, et ». L'élimination de » et y conduit, pour calculer À, à une équation du quatrième degré qu'on abaisse au second degré en prenant pour inconnue À*— 4. Les constantes A, 4 et » étant ainsi dé- terminées, l'équation qui donne Z prend la forme

nu — Àsin a

Z'-p2———— 4 + yf =0

z ui COS 4 + et se réduit à l'équation de la serie hypergéométrique si l'on fait le changement de variable indépendante

LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE TRIGONOMÉTRIQUE

SUR UNE MÉTHODE POUR OBTENIR

DE QUELQUES FONCTIONS ELLIPTIQUES

PAK

M. LERCH

à PRAGUE-VINOHRADY.

Je vais développer une méthode directe et trés simple pour obtenir

le développement en série trigonométrique de la fonction

ou

= 1 2 X (—- 1)"g" cos 2nuz, n=1

q = D

Ladite fonction admettant la période 1 et restant finie à l'intérieur de la bande indéfinie limitée par les deux paralléles à laxe réel menées

par les points # = +-, pourra s'exprimer par une série de la forme

ou lon a posé

(1)

Acta mathematica. 12.

x

Di D, (x ) DEN P

n=—on

1

Siar age ®,(x) = Mle EU) onu tig Ar)

Imprimé le 27 septembre 188$.

Sr bo

M. Lerch.

Je considère d'abord l'intégrale

qui définit évidemment une fonction entière transcendante de la variable x. D'après la formule

res AM er m n ,,—nziu2a2d-ni) Yin aN

dci + no) er (x), dans laquelle m, » représentent des nombres entiers, nous aurons (3) P(x = m + nz) — (— Meme UNA @, (a).

Or l'intégrale au second membre de la formule (1) s'évanouissant pour x = O toutes les fois que n est différent de zero, il résulte de l'équa- tion (3) que la fonction ®,(x) sannule en posant

ro =m + nr, key) de sorte qu'elle peut se mettre sous la forme , I (x) (p T) —— 1 G d (4) P (x) sin ze rr)

ou G(x) désigne une fonction entière transcendante qui peut se réduire, bien entendu, à une constante, et où nous avons posé comme il est d'usage

ica +1)

dla) 22 (— 1)'q

sin (2m + t)uz.

L'équation (4) combinée avec la formule (3).et avec l'équation connue

8. (x + m JE AT) = (— p MET lan),

nous donne la suivante

Ge in. Nc) fom ys 4 (5) — RENE = $m), sin 7(« + m + nc) à (a) Aesch

dont nous allons conclure que G(w) est une constante. Supposons à cet effet que = se trouve représenté par un point quel- conque appartenant au parallélogramme des périodes dont les sommets ont

Développement en série trigonometrique de quelques fonctions elliptiques. 58 I E 1 1 1 puq

+

pour affixes les quatre quantités + - +=, de sorte que la fonction #,(x)

via

ne sannule qu'au point z — o. En supposant uw 20 ce point sera de méme un zéro de la fonction @,(x), et on aura d'apres un théorème bien connu de M. Darsoux', la formule

(6) d, (c) = Ard (a^),

ou [A] <1, et où +’ appartient aussi au parallélogramme des périodes. Comme on a

E sau Pole + 1) il existe une quantité finie M telle qu'on ait, pour toutes les valeurs de x en question et pour toutes les valeurs de » différentes de zéro, les

deux inégalités 1 | O(a) | < Me,

xv 1 l | < M3, D» (xv) 1\ dont on conclut, au moyen de la formule (6), l'inégalité suivante

(7)

|S

Or chaque quantité z, dont la partie imaginaire se trouve en dehors d'un certain intervalle fini (— fi... fi), pouvant se mettre sous la forme v + m + nz, où n 2 O, on obtient des formules (5) et (7) l'inégalité

(8) | 6 (2) | < AZ| sin ze |

qui est satisfaite pour chacune des dites valeurs de z. Ensuite, la fonc- tion (2) admettant la période 1, on aura de même G(z + 1) = G(z), et par conséquent on pourra exprimer cette derniere fonction par une série toujours convergente de la forme

Ga) E ARES, Ee [nuc

! Ce théorème peut être ici remplacé par un semblable dà à M. Mansıon.

54

Cela étant l'inégalité (8) se

x > 4 æèn PESE

n--——

or z?n > ARE

N=—%

M. Lerch.

decompose en les deux, suivantes

at | « M. youn [53€

=] | —UM pour | é| Ses

et celles-ci entrainent Jes suivantes

| oM e pes sours Een",

et

| A, | cd M | e es pour || Se

qui exigent que l'on ait

1

A, — o sauf pour » — o. Il faut donc que

lon uit G(z) — A, et l'équation (4) deviendra, par conséquent,

(I) D, (x) = |

c 0

"a r+ 1) ale) du = —

9 (n) HH, sin zx

[U

puisqu'on obtient sans peine

Ensuite l'équation (5) fait voir que

\ de sorte qu'on aura enfin

: 4 Y 0.0.0 o (III) DU. » formule dont on conclut la membre.

j 2 (w + a) (1II^ =

(II) D,(r

I Da (Pa)

) = = Am tur e

GG TEE S 9,9.9, sim z(x + nc)

m + a) > grnumi

as

w))(x) S— sin x(x +ur) L N=—ı

suivante, apres une transformation du second

J,(u)d,(æ) sil

“4 4z22q"" sinz(2nu + ma), 1 TE

les indices sommatoires étant m= 1,3,5,...5 95 — 1,2,93,.... En

Développement en série trigonométrique de quelques fonetions elliptiques. 55

changeant, dans la formule (IT), x en @+- ou en x + on obtient

D | =

aprés des transformations convenables d'autres formules analogues à (III) et c'est de ces développements que M. Hermire avait tiré quelques for- mules intéressantes de la théorie des fonctions elliptiques.! Je me borne seulement à remarquer que la formule (IIl) conduit à la suivante

4 PN + x) ; LE - m zehn 2) > EN ans ee | (0 )9 (a) t 5 \ Tr \ x AN? DE (q )co N

] 4

où nous avons posé, pour abréger,

ite 2 I ze^ X1 ze 4)

e(z) = | quem PAR ae Zu 1 a 1+ z* MS ut IU * I —ze*X1 — ze *

Ce résultat peut s'exprimer plus simplement par la formule

a

4 D B M Ge + wu) ; (IV) 1 (1) 9, (ae) «la 22 lg Du " (d). i ou l'on a posé x , zi NEN cos 2nuz E n„4 np 4 (IV^ Du, q) —(1 T Il LIE. Tg ==} n=1 SI — ges I — ge. Lp

* Ces formules se trouvent dans un mémoire de M. LiPscurrz (Bemerkungen über

eine Gattung vielfacher Integrale; Journal für Mathematik, t. 101, p. 223) dont la seconde partie est consacrée aux résultats de M. HERMITE,

3 els | t | + Le ve ‘ = ie a * Ar > 3 Te n FE t A) FAT ac L p eti ae se snae EN E PEUT STE CRE LAON EP. NN Eu d oue Rif E & a à M ENT = aes E NE 2 i ‘a, 3 " eM 4 auto #01 EAU © | A d DE, Er rés in E vIni- adir mI VEGA FS ZU = = dae: M — j L

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4 D M E nine t iz

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=~]

cr

SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES A COEFFICIENTS ALGEBRIQUES PAR

C. GUICHARD

à RENNES.

Soit:

d"z "i - ly la?

(1) da! a Ry dr qu. E Tod — 8)

une équation différentielle linéaire et homogene, ou les A, sont des fone- tions rationnelles de deux variables z, y liées par une équation algébrique:

(2) Im y) = ©:

Soit r — «,y — b, un point de ramification d'ordre m de la courbe (2) Supposons que pour z— 4,9 — 60, RB,, R,,..., E, restent finis. Je vais démontrer le théorème suivant:

Si la variable x tourne m fois autour du point a, les n intégrales de l'équation (1) reprennent leur valeur initiale.

‚Je démontrerai ce théorème en supposant # — 4. On verra facile. ment que la démonstration s'étend au cas général. J'écris l'équation (1) sous la forme suivante:

3 2 lis; NE 7. S 8) v Gee or ND ER (3) 0 < det Wo rper er St diee Pea

Acta mathematieu. 12. Imprimé le 4 octobre 1888. 8

38 C. Guichard. En vertu de l'hypothèse faite sur les coefficients, P, , P,, P,, P, con- tiennent respectivement en facteur, 2 — « , (x — a)’, (x — a)’, (r — a).

Cela posé, je ramène les m portions de plan qui se raccordent au point a à la forme élémentaire par le changement de variable: qpo qc 8

L'équation (3) se transforme alors en la suivante:

z de „da - (4) PX QE | Pure d= + dé Tea Qug = 0.

Pour calculer les coefficients Q je remarque que l'on a: v J | |

dhl st Jar

(x —— i ) Sed rd (5) "da m "d£ . = : , dz En prenant pour F’ successivement, z, (2 — a); ... on aura: ceu dz Lie eel — 1)— =—,E 5 ( I n de ) dz I d "dz (ag =.) = || (GP d == | caeli ca | ni dé es d'ou: ata D dz ( De PU = m —— m S— ( ) dae in*|^ dé E d= Je dis que d'une maniére générale on a: dz TE dTz die > Lime f 6) (a — a)? — = EL — ARE | — Cee a 5% ( / ) da mi dea q1* alee”: SF q2* dar? Sr

I suffit pour cela de démontrer que si cette formule est exacte pour une valeur de q, elle l'est encore pour la valeur suivante.

Appliquons la formule (5) aux deux membres de la relation (6). On aura

— q+1 dt i: ( \9 012 I = ae a, U2 3 aw (t Y qx ay? a Er LA 2 ur e. ( 0) dn ve a 02 + 0,2 = VE I dz d ly EVA Cu TE } Ar mat! q.s d i q = Dane da EE os |

CE

Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. 59

Cette dernière formule établit l'exactitude de la propriété énoncée. Elle donne pour le calcul des coefficients « les formules de récurrence:

A

eg a = 04,1 — (me — 1)q,

Qi 41,2 = 4, + — mg +g — 1]a, ,.

Je n'insiste pas davantage sur ce calcul, car il n'est pas nécessaire pour arriver à notre but de connaitre ae de ces coefficients,

En portant les valeurs de (x — a)" * dans l'équation (3) on aura:

HE Q, = 4,, +.mP,,

: Q, = ty, + a, m P, + m°'P Q, — a,, + a, IP, + a, m P, + m’P,,

e 4*3 p Q, — m P,

P,, P,, P,, P, deviennent des fonctions de £ qui contiennent respective-

gm g?m mim

mm en faeteur’ Sark emat Sieg Les fonctions Q,, Q,. Q,, Q, sont des fonctions holomorphes de € dans le voisinage de £—o. Nous poserons:

x

Y= Ais.

Formons maintenant la fonction caractéristique de l'équation (4), qu on obtient, comme on le sait, en remplaçant dans le premios membre

=p

de cette equation z par £. Nous obtenons:

CH) HEHE) + Fe, (C) +.

de F(r) — r(r — Y)(r — ı)(r — 3) + Aor(r — 1)(r — 2) + Are — 1) 4 + At, eur) Arr — 1)(r — 2) + Arr — 1) + Ar + AL. >

Je ferai sur les polynömes Æ et ¢ les remarques suivantes:

60 C. Guichard.

Remarque 1. Les coefficients A}, 45, Aj, A} ont respectivement pour valeur: 4,,,4,,,4,,, ©; ils ne dépendent pas des coefficients des fonc- tions P. Il en résulte qu'on ne change pas la valeur de F(r) si l'on suppose que dans l'équation (3) on remplace P,, P,, P,, P, respective- ment par r——a4,(r—a),(r—«)',(r— a). Dans ces conditions, l'équa- tion caractéristique de (3) aurait pour racines 0,1, 2,3. Dans l'équa- tion transformée (4) les racines de l'équation caractéristique seront alors o,m,2m, 3m. Ce sont aussi les racines de F(r) D'une maniere gé- nérale, l'équation:

(7) r(r — 1)... (r—q + 1) + are — 1)... (r— q + 2) + apr — 1)...(r—4 4-3) +-..=0 admet pour racines:

Où, 30, 21 ce (0 — MN,

ce qui donnerait une nouvelle méthode pour calculer les coefficients a. Remarque 2. Les polynómes €,,6€.,...,€, , sont identiquement nuls. En effet les fonctions Q ne renferment pas de termes dont le

degre est 152, 5... M. T: Remarque 3. Les polynómes €,,4€,,,..., Goma Ont pour racines communes:

©, 71, 2m. En effet si 5, est le coefficient de £"^' dans P, on a: LI I

Cn m. [r(r — 1)(r — 2) + a, r(r — 1) + 0, ].

Remarque 4. On voit de méme: 1° que les polynómes @,, ; Pomsr s «+ + > £a: Ont pour racines com- mures O,;

2° que les polynómes Gyn, famiis «+ Cam Ont pour racine com- mune O,

Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. 61

4

Cela posé, cherchons a intéerer l'équation en prenant pour 2 une série de la forme:

4

> el

excl. 0

On aura pour déterminer c, l'équation:

(8) e, F(i) + cie — 1) + le — 2) +... + 6e(0) — 0.

Donnons-nous arbitrairement c,. L'équation (8) donne pour e, , ¢,, ..., ¢

‘m—1

la valeur o. L'équation qui détermine e,:

m*

e, F (m) + e, a gym — 1) +... + 6e,(0)—0

se réduit à une identité, On pourra prendre c, arbitrairement. On aur: ensuite © pour valeur de c,,,,..., €, 3. Puis l'équation qui determine C4, se réduit à une identité; c,, pourra être pris arbitrairement. Ensuite on trouvera o pour les coefficients €65,,1, Congo» «5 Cm, On pourra prendre arbitrairement c,,. A partir de là les équations ne deviendront jamais identiques. Les coefficients 6,,,,. ..., € , seront encore nuls. Mais aprés le terme c,,, il pourra y avoir des coefficients dont l'indice n'est pas divisible par m.

On démontre dans la théorie des équations différentielles que la série obtenue est convergente et donne l'intégrale générale. C'est une fonction uniforme de £ et par suite de x, y prés du point de ramification.

m FR

pits WC tories

oo

E :CeeEonem doli i ote xit

Alfa tomate tao:

tel 505 Wes at [] L au Luv

2 KERN

FE Stil ) ip 4 HER

rbi L'on word, Leo. ER F - T oon E = 4 : ii phon side at pro aut; MOM TON sf 1 | j 4 of 5 ees: #4 EE À i) 7 n e La” n DEA "y f d ; = E = : té n - x sage tea ce potro fresa [o Sugeb brooHfSiIVEGMN Patr. Hiper caf | | j ; M t ÿ : : 2E 4, m A Wo. d maet TON OU ROT be TON Dinge ws, a ath DEEE "SH p LT n ^ ; = 4 a

TS TT TT 1

ÜBER GEWISSE EBENE CONFIGURATIONEN

VON

J. DE VRIES

in KAMPEN (Holland).

Eine ebene Figur, welche aus p Punkten und g Geraden derart zu- sainmengesetzt ist, dass jeder Punkt mit ; Geraden und jede Gerade mit x Punkten incident ist, heisst bekanntlich eine Configuration; ich be- zeichne sie mit dem Symbol (p,, 7.) falls 7 und x verschieden sind: für r = 7 hat Herr Rere die Bezeichnung p. eingeführt. '

Die Cf. 8,,9,, 10, sind von Herrn Kaxron,? die Cf. 11, von Herrn Martinerti* eingehend untersucht worden, während Herr ScnówrrLirs * die regelmässigen Cf. p, einer Betrachtung unterworfen hat. In der fol- genden Arbeit sind die Eigenschaften von einigen Cf. (p, , 7,) abgeleitet und gewisse Cf. aufgestellt worden, welche sich diesen ungezwungen an- schliessen. *

1. Die kleinsten Zahlen, für welche eine Cf. (p, ,9,) möglich ist, sind 9=9,9= 12. "Werden aus einer (9,, 12,) ein Punkt und die

! Acta Mathematica, Bd. l. Das von mir benutzte Symbol schliesst sich der

von Herrn REYE vorgeschlagenen Bezeichnung einer räumlichen Cf. an.

* Sitzungsberichte d. Wiener Akademie, Bd. 84, S. 915 und 1291.

5 Annali di Matematica, Serie II, Bd. 15, S. FE.

‘ Göttinger Nachrichten 1887, S. 410 und Math. Annalen Bd. 31, S. 43.

* Der gróssere Theil jener Eigenschaften ist enthalten in einer Arbeit Over vlakke configuraties, welehe in den Sitz. Ber. d. Kón. Akad. d. Wiss. in Amsterdam ver- üffentlicht wurde (Serie IIT, Bd. 5).

Acta mathematica, 12. Imprimé le 4 octobre 1888.

64 J. de Vries.

vier mit ihm incidenten Geraden fortgelassen, so bilden die übrigen Punkte und Geraden offenbar eine Cf. 8,, welche, wie Herr Möıus ' zuerst gezeigt hat, niemals reell sein kann. Die ebenfalls imaginäre Cf. (9,, 12,) wird demnach von zwei einander ein- und umbeschriebenen Vierecken und ihren in einem Punkte zusammenlaufenden vier Diago- nalen gebildet.

2. Jeder Punkt einer Of. (12,, 16,) ist von drei Punkten getrennt;? ich betrachte nun zunächst diejenigen (12,, 16,) in denen jeder Punkt mit den von ihm getrennten Punkten eine involutorische Gruppe bildet, und bezeichne mit 1234, 1'2'3'4', 1"2"5"4" die drei Quadrupel, in welche sich die Öf.-punkte alsdann anordnen lassen. Es werde ferner die Be- zeichnung so gewählt, dass die Cf-geraden i'i", 2'2", 3'3", 4'4" nach 1 zielen und die Geraden 1i'2", 1'3", 1'4" bezüglich die Punkte 2,3, 4 enthalten. Die vollstándige Untersuchung ergibt nun, dass die Ver- theilung der 12 Cf-punkte über die r6 Cf.geraden durch jede der nach-

stehenden Tafeln dargestellt werden kann. e

A. | nz V=2712% IX = 313" XT Sa a II = 12'2" Vl= 221" X= 32'4" XIV = 42'3" III = 133" VII= 234" X1= 331" XV = 432" IV = 044" VIII = 24'3" XII = 34'2" XVI z 44'1" D. T= 0 on V So 142" i Xis= e/a" XIII = 41'4" II = 12'2" VI = 22'1” X = 32'4” ATV = 42'373” III = 13'3” VII = 23'4" XT = 332" XV = 431" IV = 14'4" VIII = 243" XII = 341" XVIz 44'2"

! Ges. Werke, Bd. 1, S. 445. * Herr SCHÖNFLIES nennt 2 Punkte (Gerade) getrennt, wenn sie nicht mit einer

Cf.-zeraden (einem Cf.-punkte) incident sind. a. a. O.

Über gewisse ebene Configurationen. 65

C.

I= 11°" V = 212" IX = 31'3"” XIII = 41' 4" Ti = pre's" VI = 22'3"” X = 32'4" XIV = 4271" III z 13'3" VII z 23'4" XI = 33'1" XV = 432" IV = 14'4" VIII z 24'1" XII = 34'2" XVI cz 44'3". Th

p 0 on V za12" IX z 31'3" XIII — 41'4" IT= 12’2" VI = 22'4" X= 32'1" XIV = 42'3" III zc 13'3" VII z 23/1" XI z 33'4" XV = 432" IV = 14'4" VIII = 24'3” XII z 34'2" XVIz A441".

3. Die Cf. A ist dadurch gekennzeichnet, dass je zwei getrennte Punkte Gegenecken in zwei von Cf.-geraden gebildeten vollständigen Vierseiten sind. Die folgende Tabelle enthalt die r2 Geradenquadrupel, welche den verschiedenen Vierseiten angehören.

HOTTE MI Ca VALER OXTAD E DB TE VEE VEL FEICEIDIICXIWÉCXEFI DATES TX, QI PORT: EX CXII TI Cp KTI Jupes erp ERFURT JS NIS XIIR XVI LX. PARAIT ARE. Die TER AEE XV: AV RT reek, CPE.

In der Cf. B zeigen die Paare getrennter Punkte ungleiches Verhalten. Während z. B. 1 und 2 Gegenecken in zwei vollständigen Vierseiten sind, bilden die mit 1 und 3 incidenten Geraden ein Achtseit, dessen Seiten abwechselnd durch 1 und 3 laufen; ich bezeichne diese Figur als Sreisersches Achtseit mit den Hauptecken 1, 3. Die von den Cf.

Acta mathematica. 12. Imprimé le 3 octobre 1888. 9

66 J. de Vries.

geraden gebildeten vollständigen Vierseite und Srteinerschen Achtseite sind in der nachstehenden Tabelle enthalten.

TETE ON VI DIL S Le GEL. IX. X. FETS SLY AE OX XS eX

Vierseite.

Je IR ILL IV XAT TEXTES SC PRESENTED S XP:

I III TX 3X VG VET ITR T ODE XCEDE OVE! POIRIER er RE OPE QUA STD ONE. qi "he. OT ORG TAUX V TM, DIS SEDIT XV ERV Spp VT RE RT:

IT o KR ER PAR TRAV RTL Tn. DLhpe XT XY PTT VD RTV IT ADV eV RT y po. RT OR

Ve XS NIET eT. VIER Ville XML Vig AID VIL XV VAT VIE XV Ae

Achtseite.

Ein weiterer Unterschied zwischen A und P ergibt sich aus der Be- trachtung der Restfigur einer Cf.-geraden, d. h. der Figur, welche die von einer bestimmten Cf.-geraden getrennten Geraden enthilt. '

In À besteht die Restfigur der / aus zwei Tripeln gegenseitig ge- trennter Geraden, nämlich VII, XII, XIV und VIII, X, XV, welche mit den Punkten 22’233'3"44'4" eine Cf. (9,, 6,) bilden. Indem. jedes Tripel sämmtliche neun Punkte enthält, können diese als Basis eines

! KANTOR, a. a. O., zweite Abh.

Über gewisse ebene Configurationen. 67

C,-Büschels betrachtet werden. Die Restfiguren der übrigen Cf.-geraden sind Cf. (9,, 6,).4 von derselben Art.

In B kónnen die von einer willkürlichen Geraden getrennten Ge- raden nicht in zwei Tripel gegenseitig getrennter Geraden angeordnet werden. Die Cf. (9,,6,)B, welche z. B. die Punkte 22'2"33'3'"44'4" mit den von J getrennten Geraden VII, VIII, X, XI, XIV, XVI bilden, besteht aus zwei Dreiecken 33'4" und 44'3" drei nicht allineirten Punkten 22'2" schneiden.

Die Untersuchung der von den Tabellen C und D dargestellten Cf. ergibt, dass sie von der Cf. B nicht verschieden sind.

»Es gibt nur zwei Cf. (12,, 16,), deren Punkte drei Quadrupel bilden, in welchen jeder Punkt von den übrigen getrennt ist.»

Ausser den beiden hier auftretenden Cf. (9,, 6,) gibt es keine mehr; man zeigt diess am Einfachsten, wenn man ausgeht von der einzigen

, deren Seitenpaare sich in

(6,, 4,), dem vollständigen Vierseite.

4. Auf der C,, welche durch die Ecken der beiden zur (12, , 16,) A gehörigen vollständigen Vierseite 7 // V VI und 11 11I XIV XV bestimmt ist, sind 12, 1'2', 1"2", 14, 2'3', 2"3" sechs Paare correspondirender Punkte. Indem die correspondirenden Punkte 1’3’ aus ı in die correspondirenden Punkte 13” projicirt werden, bilden 1 und 3 — (7X, X7) ebenfalls ein correspondirendes Paar. Ebenso ergibt sich, Me ss C, die Punkte

ELU) and at CP IT. 2777)

"

enthalt, welche ee mit 2’ und 2" correspondirende Paare bilden.

»Durch jede (12,, 16,).4 lässt sich eine zweizügige C, legen, auf welcher die 3 Qüsdrariel getrennter Punkte 3 Punktquadrupel mit al- lineirten Tangentialpunkten sind, die 16 Geraden somit eine gemeinschaft- liche Begleiterin haben.»

Dem vollständigen Vierseite 7/7 V VI und dem Dreiecke 33'3" der (12,, 16,)B kann man eine C, umschreiben, auf welcher 12, 1'2', 1"2 drei Paare correspondirender Punkte sind, deren ceu due te (a): (1/27) , (1"2") in einer Geraden liegen. Weil ein correspondirendes Punkte-

paar aus jedem Punkte der C, in ein zweites Paar projicirt wird, und

3 , n

3 als Projection von 1’ aus 3” und als Projection von 2" aus 3' be- trachtet werden kann, enthält ©, auch den Punkt 4, welcher den Ge-

68 J. de Vries.

raden 3"2',3'1" gemein ist, und daher mit 3 ein Paar bildet. Die gleiche Betrachtung lehrt, dass 4'—(42", 31") und 3'=(41", 32"), 4” =(41', 32) und 3"z(42',31) zwei correspondirende Paare sind. Die den letzten drei Paaren entsprechenden Tangentialpunkte (34) ,(3'4’),

(3"4") sind die Gegenecken der Tangentialpunkte (12), (1'27) , (1"2") in einem der C, eingeschriebenen vollständigen Vierseite.

»Jeder (12,,

1.2

16,)B kann man eine C, umschreiben, auf welcher die 2 Punkte 6 correspondirende Paare desselben Systems bilden, deren

zweite Tangentialpunkte allineirt sind.»

Sechs Punktquadrupel einer zweizügigen C,, deren Tangentialpunkte die Ecken eines vollständigen Vierseits sind, bilden eine Cf. (24, , 64,),

welche die vier Cf. (12,,

16,)A enthält, deren Geraden die Seiten des

Vierseits als Begleiterinnen entsprechen. Es kann leicht gezeigt werden, dass jene Cf. acht Cf. (12, , 16.) B

enthält.

5. In der folgenden Tafel werden die beiden (12,, 16,) in Bezug

auf einige ihrer Eigenschaften verglichen.

A.

1. Die Cf. wird gebildet von drei Punktquadrupeln einer zweizü- gigen C,; ihre Geraden haben eine gemeinschaftliche Begleiterin.

2. Die Cf. ist unzweideutig be- stimmt durch ein vollständiges Vier- seit und ein Dreieck, dessen Seiten mit drei allineirten Ecken des Vier- seits incident sind.

3. -Jeder Punkt ist als Ecke vollständigen Vierseiten

sechs ge:

mein.

B.

1. Die Cf. wird gebildet von sechs correspondirenden Paaren einer C,; die sechs Tangentialpunkte sind Ecken eines vollständigen Vierseits, die Cf.-geraden haben somit eine ge- meinschaftliche zweite Begleiterin.

2. Die Cf. ist bestimmt durch ein vollständiges Vierseit und ein Dreieck, dessen Seiten mit drei nicht allineirten Ecken incident sind.

3. Jeder Punkt ist Ecke zweier vollständiger Vierseite und Haupt- ecke zweier SrEINERscher Achtseite.

Über gewisse ebene Configurationen.

4. Jede Gerade ist drei voll- ständigen Vierseiten gemeinschaftlich.

5. Die Cf. enthält zwölf voll. |

ständige Vierseite.

6. Die Restfigur jeder Cf.-ge- raden ist eine (9, , 6,) A.

7. Greift man 6 Gerade her- aus, welche einer (9,, 6,) A angehö-

ren, so sind die übrigen 3 Cf.-punkte |

allineirt. '

8. Die Cf. enthält acht Qua- drupel gegenseitig getrennter Gera-

69 4. Jede Gerade gehórt einem

vollständigen Vierseite und sechs

SrEINERSChen Achtseiten an.

5. Die Cf. enthält vier voll- ständige Vierseite und zwölf Srer- Nersche Achtseite.

6. Die Restfigur jeder Cf.-ge- raden ist eine (9,, 6,)B.

7. Entfernt man 6 Gerade, wel- che einer (9,, 6,) A angehören, so sind die übrigen 3 Cf.-punkte Ecken eines Öf.-geraden gebildeten Dreiecks.

8. Die Cf. enthält keine Qua-

drupel gegenseitig getrennter Gera-

von

den; jede Gerade ist zwei Quadrupeln | den.

gemeinschaftlich.

6. Wird aus einer (12,, 16,) A ein Quadrupel gegenseitig getrennter Geraden fortgelassen, dann bilden die übrigen zwölf Geraden mit den zwölf Cf-punkten eine regelmässige 12,. Die Entfernung der Geraden IV, VI, IX, XV ergibt zum Beispiel die durch das nachfolgende Schema dargestellte Cf.

ave OA | 2.1.2 Cbr MY eb Mae "n , "

I 2! 2 2 2 , 3 2 1 4 2' a

I ax eu 2 A! " 3 4 2^ 4 4' 14

Jeder Punkt dieser 12, kommt in 3 Cf.-dreiecken vor; die Cf. be- steht somit entweder aus einem sich selbst ein- und umbeschriebenen Po- lygone oder aus einem Cyklus von Polygonen, deren jedes dem folgenden, deren letztes dem ersten eingeschrieben ist.' Die nähere Betrachtung der obigen Tabelle lehrt, dass letzteres hier der Fall ist; die Cf. wird ge-

34'3" und 1"42'2"25', welche ein-

FER

bildet von den beiden Sechsecken 11'4

! SCHÖNFLIES, Math. Ann. a. a. O., 2 4.

70 J. de Vries.

ander so eingeschrieben sind, dass je zwei auf einander folgende Ecken jedes von ihnen auf zwei einander folgenden Seiten des anderen liegen.

Die Restfigur jedes Punktes dieser 12, besteht aus einem Tripel und einem Paare gegenseitig getrennter Punkte, enthält also 6 Cf.-gerade; die Restfigur jeder Geraden kann betrachtet werden als ein Sechsseit, aus welchem eine Seite entfernt ist.

4. Bei weiterer Betrachtung der Cf. (12,, 16,)A ergibt sich eine Cf. (15,, 20,), deren Eigenschaften ich hier einschalten werde. Ihre Punkte bezeichne ich durch die Combinationen ik, ihre Geraden durch die Combinationen ikl der Zahlen 1, 2,3,4,5, 6; es sind alsdann die Punkte 7k, kl, li der Geraden ikl incident. Die Existenz einer solchen Cf. ergibt sich auf folgende Weise. Werden die Geraden 123,124,125,126 nebst den ihnen incidenten Punkten 13,23,... willkürlich angenommen, dann sind die 6 Schnittpunkte der Geradenpaare 14%, 2ik die Ecken eines vollständigen Vierseits, dessen Seiten die Perspectivitätsaxen der 4 Paare von Dreiecken bilden, für welche der Punkt 12 das gemeinschaftliche Perspectivitätszentrum ist.

»Zwei einem Vierstrahle eingeschriebene vollständige Vierecke be- stimmen eine (15, , 20,), in welcher die Restfigur jedes Punktes ein voll- ständiges Vierseit ist.»

Die Gerade 123 ist mit den Geraden 127, 231, 31$, (i — 4,5, 6) verbunden,' die Gerade 456. mit den Geraden 45%, 56k, 64k, (k — 1,2,3); die 20 Geraden der Cf. bilden somit 10 Paare »associirter» Geraden: jede Gerade eines solehen Paares stellt mit den neun mit ihr verbunde- nen Geraden die Restfigur der zweiten Geraden dar.

»Die betrachtete (15,, 20,) kann auf zehn Arten aus zwei Tripelr vollständiger Vierseite zusammengesetzt werden; die Vierseite jedes Tripels haben drei allineirte Ecken gemein, die übrigen neun Ecken gehören beiden Tripeln an.»

Die Cf. ist durch eines dieser Tripel vollständig bestimmt. Werden nämlich die Geraden 123, ı2i, 237, 31%, (2 — 4, 5, 6) willkürlich an- genommen, dann ist 123 die gemeinschaftliche Perspectivitätsaxe der drei

Zwei (Gerade heissen verbunden, wenn sie sich in einem Cf.-punkt schneiden.

(SCHÖNFLIES, a. a. O.)

Über gewisse ebene Configurationen. 71

von den übrigen neun Geraden gebildeten Dreiecke. Bezeichnet man ihre Perspectivitätszentren durch 45, 56, 64, dann ist 12 das Perspectivitäts- zentrum der Dreiecke (14, 15, 16) und (24, 25, 26), wesshalb die Punkte 45, 56, 64 als Schnitte homologer Seiten allineirt sind.

S. In der Cf. (12,, 16,)A bestimmt somit die Gerade J mit den mit ihr verbundenen Geraden JJ V VI, III IX XI, IV XIII XVI eine (15,, 20,) der betrachteten Art, welche ausser diesen 10 Cf.-geraden 9 Cf-diagonalen enthält; die 20** Gerade ist mit drei Schnittpunkten von je drei Cf.-diagonalen incident. Werden diese neuen Punkte mit 6’, 8 , 7" bezeichnet, dann ergibt sich für die (15, , 20,) nachstehende Tafel.

I 14 Tee 8 6' n^ 1: 27 35178. 93) 04 , "m LA , IE C35. 3^ 4 , " "n [77 na r' 324 Dig uro NON 0. 73 " , , ! ji 03.10 25. 3 4 T Ae 6' 2! 3%. 5 2! Tf ell 5 4 , ^ 3 2 r^ 7% 2’ 4° 4 4 ey 7% DE 4”

Die zehn Geraden der zweiten Vertikalreihe bilden mit der Restfigur (9,.6,) A der Geraden 11'1” in Bezug auf die (12,, 16,).4 eine zweite Cf. dieser Art, welche durch die folgende Tabelle dargestellt wird.

8 6 7 2 6’ 3 2% (ay 3° pi 6’ ad

STATS NE 2 HN AIRE PES POE de 13: 8 4 a 2 4 3? 2’ 4’ 7 2044 4 3

3

a EI

"do J. de Vries.

Auf der zweizügigen C,, welche dieser Cf. umschrieben werden kann, sind offenbar 822'2", 6'44'4", 7"33'3" drei Punktquadrupel.

»Die sechszehn in einer (12, , 16,)A enthaltenen (9,, 6,) A bestim- men ebensoviele neue Cf. (12,, 16,).4, deren jede von der ursprüng- lichen Cf. 6 Gerade und 9 Diagonalen absorbirt; die sechszehnte Gerade der neuen Of. ist derjenigen Geraden der alten Cf. in einer (15, , 20,) associirt, für welche die betreffende (9, , 6,)A die Restfigur bildet.»

9. Die vollständige Untersuchung der Cf. (12,, 16,) 4 in Bezug auf ihre sàmmtlichen Restfiguren ergibt, dass die 18 Diagonalen der Cf. zu dreien nach 12 Punkten zielen, welche mit 16 Geraden incident sind, und mit diesen eine neue (12,, 16,).4 darstellen, die ich als die »asso- ciirte» Cf. bezeichne.

Nachstehende Tabelle enthält die Resultate dieser Untersuchung und die Bezeichnung der Schnittpunkte.

Schnitt-

Geradentripel. punkte.

I 2 BY 4’ D^ 2" 5 I 2 T 2' 3% 4t" 6 3 4 uu 2’ rie Bye 2 4 3, 4' au 4" 8 2 3 I" Al’ T 4" 5 2 3 2! 2 att zu 6! I 4 2’ a y^^ 4" 7 I 4 I 4 2" a? oe I 3 T^ 3 DU au p I 3 2! 4’ 14 ae 6” 2 4 Da 4 Du ar" 7 | 2 4 n^ 27 Tt Bis |

Über gewisse ebene Configurationen. : 73

Geradenpaare, welche in einer (15,, 20,) associirt sind: n

1210717. MT SO: I 2332 NA in ea ae uM QT IM o "NE Ex NES ET ONE a SR NI 8/36! 2v d on | 1450

3

3

Lam ie do | 4

4

4

Ch rage con. Ono Kon Oy CAE SS) 60. Soo ey en oo

|

| 44 6 355 Aus dieser Übersicht erhellt, dass die associirten von vier durch einen Cf-punkt laufenden Geraden der einen Cf. in der associirten Cf. ein voll- ständiges Vierseit bilden, welches zugleich die Restfigur jenes Punktes in einer (15, , 20,) ist, der ausser jenen 8 Geraden noch 12 Diagonalen der ersten (12, , 16,) angehören.

Beispiel. | , , | " " | - Te 977 I 222272 u Toms vi ne ee g^ 1^5 248" | 8 6' T 2 I 2! Du 12 4 5 T^ 4" D 8 5 Sit ii , zu 2! au 6’ 2" 2 6' | 7 5 7“ >, I 4’ AU 2' 4! Vid 2"! A 25 | 7 6' QE 3! 4! 3 3"! 4" 8 | Acta mathematica, 12. Imprimé le 8 octobre 1888. 10

74 2 J. de Vries.

Hn

Die Diagonale 12 des vollständigen Vierseits 121'2'1"2" wird von den Diagonalen ı’2’, 1"2" beziehungsweise in 6, 5 geschnitten: 1,2,5,6 sind daher harmonische Punkte.

»Die Punkte zweier associirter (12,, 16,) trennen sich harmonisch

4? auf den achtzehn ihnen gemeinschaftlichen Diagonalen.»

10. Die achtzehn von den 24 Punkten der beiden Cf. (12, , 16,) gebildeten harmonischen Gruppen sind in der nachstehenden Tafel ent-

halten. ig Ds) © 1424: 7 Ta 94 Qm RE GS d. OS I 2 ie (6)! T4 3 [iid Qu? T^ qu (6 QUE 2 4 „N Qu 2! AL GU 7 2"! Az s" 75 I 4 7 au T AU 5 RY LU Ase , 7 2 2 s 6’ 2" Bt 6' 7. Diu a 6' d

* „Die Punkte zweier associirter (12, , 16,) bilden mit ihren 18 ge- meinschaftlichen Diagonalen eine ‘Cf. (24, , 18,), in welcher je vier Punkte einer Geraden eine harmonische Gruppe darstellen.»

Diese »harmonische» Cf. ist aus 2 Tripeln vollständiger Vierecke derart zusammengesetzt, dass je 2 dieser Figuren, welche nicht demselben Tripel angehören, eine gemeinschaftliche Nebenecke haben. Den 9 Neben- ecken entsprechend lassen sich die Cf.-geraden demnach in 9 Paare asso- ciirter Geraden anordnen.

Aus der Tabelle ist weiter ersichtlich, dass die 8 Geraden, mit welchen eine Cf-gerade verbunden ist, auch die ihr associirte Gerade in Cf.-punkten schneiden, während die übrigen 8 eine aus 2 Quadrupeln gegenseitig ge- trennter Geraden gebildete (16,, 8,) darstellen, deren Punkte somit die Basis eines C,-Düschels sind. Jedes associirte Geradenpaar kommt also in 2 Sextupeln gegenseitig getrennter Geraden vor; die Entfernung eines solehen Sextupels liefert eine Of. (24, , 12,).

11. Jedes der in der zweiten Tabelle des $ 9 aufgezählten Geraden- paare enthält ein Sextupel gegenseitig getrennter Punkte der harmonischen Cf; die Ausscheidung eines solchen Sextupels liefert offenbar eine Cf. 18,.

Über gewisse ebene Configurationen. 75

Werden beispielsweise aus der Tabelle des $ 10 die Punkte r1'1"86'7" fortgelassen, so ergibt sich die Cf.

2485 841121 6:4 ur x2 S dde a Wo Ta 3 ATOME 4 6 EEE ew OCURRE SA) ot Aes QU | CHE MATS D WIE EA OL. E A D a he ee AS Hoe rds eoa

welehe noch 6 Sextupel getrennter Punkte enthält, entsprechend den 6 associirten Geradenpaaren der beiden (9,, 6,), welche in den beiden asso- ciirten (12, , 16,) die Restfiguren der Geraden 11'1” und 86'7" sind. »Die 18, besteht aus zwei Tripeln von Dreiecken (234 , 234, 2"3"4" und 567, 5'7/8', 5"6"8'") in solcher Lage, dass jede Seite und ihre Ge- genecke eines dem ersten Tripèl entnommenen Dreiecks einer Ecke und deren Gegenseite eines Dreiecks des zweiten Tripels incident sind.» Werden den Geraden der 18, die 3 associirten Geradenpaare

al " E Ir " Qi Qr d, 7h taht 6

[07] as t

zugesellt, so verschwinden 3 getrennte Punktsextupel und es entsteht eine Cf. (18,, 24,), welehe in Bezug auf ihre Punkte, nicht mit Rück- sicht auf ihre Geraden, regelmässig ist, indem jeder Cf.-punkt in 7 Cf.- dreiecken vorkommt. (Beispielsweise gehórt der Punkt 2 den Dreiecken Done 23 08 194" 6 24715". 255, 269" an.)

Die letzten 3 Punktsextupel werden aufgehoben durch Hinzutreten der übrigen Geraden der obeugenannten Restfiguren, also der Geraden- paare

WARE 77 15

, "

[#2] no + Cn

So

E

a on eR

76 J. de Vries.

in der nunmehr entstandenen Cf. (18, , 30,), welche in Bezug auf jeden ihrer Punkte gleichartig zusammengesetzt ist, erscheint jeder Punkt als ‚Ecke von 15 Cf.-dreiecken. (Für 2 kommen z. B. zu den oben er- wühnten noch die Dreiecke 23'4', 23"4", 24'5 , 24'5', 23"6 , 23"8", 258", 25'6.)

12. Einer bekannten Eigenschaft der C, zufolge bilden die Neben- ecken des Punktquadrupels 1234 mit dem Tangentialpunkte des Quadrupels ein neues Punktquadrupel' Demnach gehören die 3 Tangentialpunkte und die 9 Nebenecken einer (12,, 16,) 4 einer Cf. der nämlichen Art an. Indem diese Nebenecken auch als Nebenecken der Quadrupel der asso- clirten Cf. auftreten, sind sie die Schnittpunkte der Curven 3'* Ordnung, welche den beiden Cf. umbeschrieben werden kónnen, während sie mit den Tangentialpunkten der associirten Cf. wiederum eine (12,, 16,).4 bilden.

Mit Hülfe der nachstehenden Bezeichnung:

42?

(1256, 3478)= 9 (29:55 67; 24:7 1810) = iS (147/8',-235'6") = 11

(12767 5 3'458) = 9'

O

nn oo un co to ER Qu ST

(MS ode) QUAE "n

)

) (17/2555, 3 468) 97

)= 10

)

(X D M XV SN = rein

ergibt sich, dass die 9 Nebenecken mit den Geraden

9 IO' oe 9: 24. 10,

" "n

Ig) TE 6) 16) 0)

,

INNO STO

n

DI 10429

' DunEGE, die ebenen Curven dritter Ordnung, § 388.

Über gewisse ebene Configurationen. tt

incident sind, mit denen sie die Restfigur (9, , 6,) bilden, welche den beiden von den Tangentialpunkten der beiden associirten Cf. bestimmten Cf. (12, , 16,) gemeinschaftlich ist.

13. Werden aus der in $ 11 betrachteten Cf. 18, die sechs gegen- seitig getrennten Punkte 23'4"78'6" fortgelassen, so bleibt eine (12, , 18,), deren Gerade zu zweien nach den 9 Nebenecken zielen. Fügt man diese 9 Punkte sammt drei gegenseitig getrennten Geraden der obigen (9, , 6.) hinzu, so entsteht folgende Cf. 21,:

SEND On | oar, Oo gp da" 6- 9s BN m Mis 9 L3 G .g B. ase. sus Sr Of BOL ATL AOC TON PPS qu BIEL Od RABAT MOS SOLI QS" op Te ora 5^ WT D TRITT TREE oo Bi GET ra TOs cg UTE. OP ATOS

In dieser aus je sechs Punkten der beiden associirten (12, , 16,) und ihren gemeinschaftlichen Nebenecken und Diagonalen nebst drei mit Neben- ecken incidenten Geraden zusimmengesetzten Cf. kommt jede Nebenecke in keinem Cf.dreiecke, jeder der übrigen Punkte in zwei Cf.-dreiecken vor. (Der Punkt 3 findet sich z. B. in den Dreiecken 3410, 3411.)

. Eine von dieser Of. durchaus verschiedene 21, ergibt sich, wenn aus der harmonischen Cf. die Punkte einer (12,, 16,) fortgelassen, da- gegen die Nebenecken sammt drei getrennten Geraden der zugehörigen (9,, 6,) hinzugefügt werden. Ihre Geraden sind in der nachfolgenden

Tabelle zusammengestellt.

D 20 125. 9 Thar 24 Io Saas UG a ^a IG aH SA MR oes LO Te ee (LO: INO IOS 2a ALTO 2r ur duy 2 AL On Te pedi DT Nas entr an YU LA TA D 2X QUEE 2; OB T PURES US I" OMC NN LOS 1 OPE DE or TO:

78 J. de Vries.

Die Punkte dieser 21, sind Ecken in 9 oder 4 Cf.-dreiecken je nachdem sie Cf-punkt oder Nebenecke der (12, , 16,) sind.

Indem die übrigen drei Geraden der von den Nebenecken gebildeten (9, , 6,) von jedem Quadrupel getrennter Geraden der (12,,16,) getrennt sind, gibt das Hinzutreten dieser sieben Geraden zur obigen 21, eine neue Cf, nämlich eine (21,, 28,). Die bezügliche Tabelle enthält ausser den im vorhergehenden Schema aufgeführten Geraden noch beispielsweise:

9 n 10% | I 1 nz " IO 9' TET | 2 ei 4" Lr To 9/4 3.4 2

Se Hn

Wie leicht ersichtlich, ist die Anzahl der Cf.-dreiecke, in denen ein Cf- ,

punkt vorkomunt, in dieser Cf. die nämliche wie in der 21, aus welcher

sie abgeleitet worden.

14. In $ 8 wurde gezeigt, wie jeder Geraden der (12,,16,).4 eine Cf. derselben Art zugeordnet ist, welcher die 9 Punkte ihrer Restfigur und die 3 Punkte der associirten Geraden angehóren. Um für diese zu- geordnete Cf. die associirte Cf. aufzustellen, führe ich für ihre Diagonal- schnittpunkte (vgl. $ 9) nachstehende Bezeichnung ein.

Diagonalentripel. | pen | 8,2. |) 44" 7 3e [rao ONE A SE Su an | (Si ati 2 14 SOC RNA TUE 3. M oro 2 so Zar Med CUP I 2 Bin | 6' 4" ga Be | 22’) | rer sr 827 4 4 TB? EEE M SRE à | COL ONE ES | 204 a Sura: Oe A redu ee SE 44") | EAM Sb E 2» 25. | BOL 30 EIDEM N22): 0.

Über gewisse ebene Configurationen. 79

Im Anschluss an $ 9 stellt die folgende Tafel alsdann die Geraden der associirten (12, , 16,) dar.

| Doi" 1° | (22°) 1" (22) | (3'3") 1 (33°) | (44) 1" (44)

1 (22!)(22") | (2'2")(22’) 1° | (3'3°22)44) | (44) 2233") 1 (33)(33") | (2'27)(33)(44") | (3'3"X33) 1' | (4433227)

1 (44) 44") | (2'2”)(44')(33") | (rs 4422") | (ra) 44). 1'

Mit Rücksicht auf den Umstand, dass die Punkte 1,2, 8 die Ne- benecken des vollständigen Vierecks 3'4'3"4" sind, erhellt, dass die Punkte (337) , (4'4") als Schnittpunkte von zwei Gegenseiten mit einer Diagonale durch die Punktepaare 3'3", 4'4" von 1 harmonisch getrennt werden.

»Die associirte (12,, 12,, 16,) zugeordneten Cf. enthalt die Punkte jener Geraden sammt den

m9, 8 J

neun Punkten, von welchen sie durch die Punkte der ursprünglichen Cf.

16,) der einer Geraden ‘der ursprünglichen

auf den mit ihr verbundenen Geraden harmonisch getrennt ist.» eo

15. Indem die Punkte 3', 3" ausser mit 4', 4" auch mit den Paaren ,I'1" ein dem obigen entsprechendes vollständiges Viereck bilden,

oho

müssen noch zwei der 28 analoge Gerade nach dem Punkt (3'3") zielen. Es sind dies die Geraden 38" und 46', von denen die zweite schon in der ersten Tabelle des vorigen Paragraphen auftrat.

Die Gerade 28 enthält ausser den Punkten (3'3”), (4'4") offenbar noch zwei der Punkte, welche auf den Geraden der der ursprüng- 45 16,) associirten Cf. deren Punkte von den übrigen beiden auf der betreffenden Of.-geraden belegenen Cf-punkten harmonisch trennen.

lichen (12 Diess ergibt sich aus der Betrachtung des vollständigen Vierecks 5'6'7"8", für welches 2,8,7 die Nebenecken sind; die Diagonale 28 schneidet nämlich auf den Gegenseiten 5'7", 6'8" die von 7 harmonisch getrennten Punkte (5'7") , (6'8") aus.

»Die Punkte h, welche die Punkte zweier associirter (12, , 16,) auf ‚deren Geraden zu harmonischen Gruppen ergänzen, bilden mit den Ge-

gnum en

raden, welche ausser den gemeinschaftlichen Cf.-diagonalen die Punkte der einen (12,,16,) mit denen der anderen Cf. verbinden, eine Cf.

AR (96.5, 72,)-2

80 J. de Vries.

Beachtet man, dass die harmonische Cf. (24, , 18,) dreipunktige und zweipunktige Cf-diagonalen besitzt, nàmlich die 32 Geraden der beiden associirten Cf. und die 72 oben erwähnten Verbindungslinien, so kann das letzte Ergebniss auch in dieser Form ausgedrückt werden:

»Die zweipunktigen Diagonalen der harmonischen Cf. begegnen den dreipunktigen in 96 Punkten welche mit den Cf-diagonalen der ersten Art eine (96,, 72,) darstellen. Dabei werden. auf jeder zweipunktigen Diagonale zwei, auf jeder dreipunktigen drei harmonische Gruppen ge- bildet, indem jede Cf.-gerade in jedem auf ihr belegenen Cf.-punkte durch je zwei dreipunktige Diagonalen von je einer zweipunktigen har- monisch getrennt wird.»

,

16. Indem die Punkte (227) , (22”) durch die Punktepaare 2,2

" "

und 2,2" von den Punkten 1”, 1’ harmonisch getrennt sind, ist die in

der letzten Tabelle des $ 14 vorkommende Gerade 1(22’)(22”) harmo-

,

nisch conjugirt zu 111’ in Bezug auf 12"2' und 12, d. h. sie trennt in einem der (12,, 16,) angehörigen vollständigen Vierseite eine Seite har- monisch von einer zweiten Seite und einer Nebenseite. Jeder Punkt der (12, , 16,) ist somit zwölf derartigen Geraden incident.

Die in der nämlichen Tabelle enthaltene Gerade (2'2'5(33^)(44") schneidet die drei getrennten Geraden 12'2", 1"733', 1'44" in Punkten,

"n

welche zur 1";

,

in Bezug auf die anderen Punkte jeder Geraden har- monisch conjugirt sind. Jede aus Geraden der (12,,16,) gebildete (9, , 6,) gibt also 6 Geraden H dieser Art: im Ganzen sind somit 96 Geraden H in jeder (12

;> 16,) vorhanden, welche zu sechsen mit den 48 Punkten h

ineident sind. Letzteres erhellt aus dem Umstande, dass z. B. die Gerade I 5!»5!!

von 6 Geradenpaaren der (12,, 16,) getrennt ist, entsprechend den

49 beiden Quadrupeln gegenseitig getrennter Cf.-geraden, in welchen sie vorkommt.

»In jeder (12,, 16,) bilden die Punkte h mit den.Geraden H eine (48,, 96,), welcher die 16 Geraden der (12, , 16,) als dreipunktige Cf.- diagonalen angehóren; von den zweipunktigen Diagonalen ziclen je 12 nach den 12 Punkten der (12,,16,), während. ausserdem deren 72 zugleich Diagonalen der harmonischen Cf. sind» — .

Weil jene r2 X 12 zweipunktige Diagonalen offenbar zu sechsen mit

Über gewisse ebene Configurationen. 81

den Punkten A incident sind, entsteht eine Cf. (60,, , 240,), wenn sie mit den Punkten der (12,, 16,) der (48, , 96,) hinzugefügt werden.

Indem jene 72 Geraden auch je zwei Punkte h der associirten Cf. enthalten, sind sie als Cf.-diagonalen den beiden (48, , 96,) gemeinschaft- lich, welche in Bezug auf die beiden associirten (12, , 16,) gebildet werden können: sie stellen eben die in $ 15 gefundene (96, , 72,) dar.

Werden die 16 Geraden der (12,, 16,) als Cf.-gerade in Betracht gezogen, so ergibt sich schliesslich aus den 48 Punkten / eine Cf. (48, , 112,), welche der (12, , 16,) eingeschrieben ist.

Acla mathematica. 19. Imprimé le 11 octobre 1888. li

SUR L'ÉQUATION DU SIXIÈME DEGRÉ PAR

F. BRIOSCHI

à MILAN:

1. Les invariants d'une forme binaire du sixième degré.

1. Les expressions des invariants d'une forme binaire du sixième ordre, en fonction de ses coefficients, sont connues depuis longtemps par les travaux de CLEBSCH, GORDAN, CAYLEY, SALMON.! Ces invariants sont cinq et des degrés 2, 4,6, 10, 15.

Soit:

UT , Le) — uz; + Gu, xia, + 15,0 +... + ws.

la forme du sixiéme ordre, et:

(uu), = kr + 4m + ... + Em

tole

i=

un de ses covariants biquadratiques; on a:

ky = WU — 4U, Uz + 3%, 2k, = wu, — 3uu, + 2U,U,, 6k, = uu, — 9u,u, + Su, 2k, = wu, — 3U,U, + 2U,U,, 2 k, = wu, — 4u,u, + 3%.

! QnEBsCH et GORDAN, Sulla rappresentazione tipica delle forme binarie, Annali

di Matematica, Serie 2*, Tomo 1°, 1867. — CAYLEY, Memoirs upon Quamtics. — SALMON, Lessons introductory to the modern higher Algebra.

Acta mathematica. 12. Imprimé le 11 octobre 1888.

34 F. Brioschi. Les invariants des degrés 2, 4, 6, sont: a = uU, — 6u,U, + 15u,u, — IOW;, g, = hk, — Ak, Eh Gs = kh kk, + 2k kk, — yk, — Ink — kj.

02 4

Les expressions des deux autres invariants se déduisent de cellgs des trois covariants quadratiques:

b= (ub); m — (iR). n = (mk),,

et l’on a: Vinvariant du 10% degre:

I (mm), — zm),

tole

ig —

et invariant gauche du 15™° degré:

Le carré de ce dernier invariant est une fonction rationnelle, entiere, des autres, et en posant:

[3 + 49,9,) — 2a(92 + 249,)],

XO t9

q = MEC — 209,9,) — 8(49 + 27g3)], on trouve: e = — 3[3(9 — 209,9,)P° + 2(92 + 2a9,)pa + 49,9”). Enfin si l'on pose: u(x, , v,) = u,(z, — ©,%,)(x, — wv,)...(v, — w,x,),

linvariant 9, ou discriminant:

NPE 6 al 2 2 oe = us (e, eer D Nu e, ) DOM TE)

Sur l'équation du sixième degré. 85

s'exprime en fonction des invariants @,9,,9,, 9 de la manière suivante: '

à — 3'.4'[32a' (5.9, + 5^. ag, — 44^) — 5'(8agi + 489,9, + 39)), et en conséquence on peut substituer 9 à g. 2. Par la transformation linéaire: ET n(&, + e, 6), Va c bé,

on obtient:

uz yt.) — UE 6)

étant: U(E, , &) = e = 2, 5, (6 — 7,6) DEN (& — 7,53) - 617 f. I Eod die RT w(SoXSUX52X53)54)' 2 es) et (rs) = ©, — @,. Soit:

f [5 = < 3 £2 5 U(& , &j) = AN(S: = VASE, + 109,66 +... + PE) et caleulons les invariants des degrés 2,4,6 de cette nouvelle forme du sixième ordre, que jindique par 4,7,,7,. Je supposerai p, = 0, ce qui n'óte rien à la généralité de ce qui suit. On a ainsi:

9N.- I 9 2 a — —À(p. c3») 72 = Ty(LOP2Ps — App) Op: np)

I 4 p D 2 » » rn ge [16pi + 16pi + 64pipy — 8opi p, — 20Pa Pi Ps — Apspsps — papi]. et, comme donne la théorie des invariants,

p'^a—a, Hg =Tn Eh = In H“È—=A,

A étant le discriminant de la forme U(&,£).

* Annali di Matematica, Serie 2*, Tomo 1°, I discriminante delle forme bi- marie del sesto ordine.

-

86 F. Brioschi.

2. Recherches anciennes sur certaines équations du sixième degré.

1. J'ai déjà fait connaitre? les travaux de deux géometres italiens, Marrartı et Rurrint, relatifs à l'équation du 5"* degré, et le lien entre . ces anciennes recherches et celles dues à JAcoBr, CavrEv et d'autres géomètres anglais.”

Je vais rappeler en peu de mots comment on arrive à l'équation du sixième degré que j'ai nommée résolvante de Mayrarri. Considérons VE 2 me c qc l'équation du 5"* degré:

5 ES £2 Sus TOPICS sel Opes 2 59, ate Og nO dont les racines sont 7,,5,,....7,. En posant avec MALFATTI:

y =M+p+q+n, 7, = em + e'p + eq + ein, 5, = EM + e'p + eg + en, M = EM + sp + eq + en, 7, — s*m + &'p + &'q + en, dans lesquelles 1 + 2e + 2¢* = \/5, on trouve que le produit p = mnpq

est une fonction des racines Po ea nayant. que six valeurs; en effet elle est cyclique, invariable pour les substitutions:

Lotto E

et les six valeurs sont correspondantes aux substitutions: T T ) ( r ) T ) w 2 "y j (2r)? Jb y 9 Nye Ju 4/ ; En posant: w= 5°[159 — 12p; + pi]

* Sulla risolvente di Malfatti per le equazioni del quinto grado, Annali di Ma-

tematica, Serie I?, Tomo 5°, 1864.

* JAcoRBr, Observatio de aequatione sexti gradus, ad quam aequationes quinti gradus revocari possunt, Journal de Crelle, T. r3.

CavrEY, Philosophical Transactions, T. 151.

Sur l'équation du sixième degré. ; 87 la résolvante de MALFATTI est la suivante: [w* + 4.5.3". fw + 45.3" r]^ + 3'[w + 5.6a]A = o,

dans laquelle:

B= (er — 18p5p, ae 12p,p; LX 3932],

= as [36(12pipic 1 2p; — 31 pop; P+ 9P>PsPs+ 4PsPiPs) — 27 Pop; — 11 2pil,

et a, A ont les valeurs supérieures. Or les valeurs de f, 7 peuvent s'exprimer en fonctions des invariants &, 7,7, de la manière suivante: Fr 2 rs . a” 3 29/19 Sid eee PES A: m | Hl —4:3'-5.ap, — 3.5455

et par conséquent la résolvante de Marrarr: peut être considérée comme une transformée d'une équation spéciale du 6"* degré, transformée dont les coefficients sont des invariants de la méme équation. : T . :

2. La valeur fondamentale () qu'on obtient en formant le produit

p = mnpg donne pour w, la valeur: w, = — 20p, — 39,

étant:

D = sos + 419s) + mM + 737) + 329195 + 9) zb 7i (2% + 041) te 74917 xis 27093) ;

ou si l'on pose: 73 = mn — 360—930» — 74) 9) 70 = (7 — 7460» — 932: — 5») — 71); is = (ga — 23) 6 — 8) 0 — 7m — Mo) Pa = (Mm 3) 029 — 203) 602 — 9) — No)

ER 4 4 4 4 Ua 27a 16 ee 0 cee

et l'on déduit au moyen des substitutions:

(em) an ) Dow n

4 4 4 ae FUE A 4 4 ae (Ly = IET (Gy ee (OD D frozen fas em 49

4 4 4 4. We 25 ol 16:

88 F. Brioschi. 5 .

et les substitutions:

Wes .) , ARE »

donnent: 2 A 4 4 A Ws Zi m MS 103 ee JA pe ae 4 x 4 aa U5 275 0e 1/4 eS étant:

a (70 = 791 E 72) (s = 75) 95 = 71) Vos = (Gien 7) a 7.9 — s) (s = 7)

ris = m) M)Mm- 7): f = (Yo— 330 — 72) — 7) m M1)

a = 9 mM MM NM 1 = m mo 97-7) M):

‘3. Comme j'ai démontré autrefois, si dans l'équation supérieure de

MALFATTI on pose w + 5.6.a — — 3A,

on obtient la transformée : A 9 \ 59 i 5 3 2° + 3002 + 6o(sa* + BA’ + A3 + 40(252° + 1508 — 27) = 0,

ou les résolvantes de Jacopr et de M. Cayuey.

3. Conséquences des résultats exposés dans le chapitre précédent.

I. Soit, comme dans le chapitre r', (rs) = ©, — «,, et considérons

les dix fonctions suivantes des racines &,, @,,..., ©,:

Sur l'équation du sixième degré. 89

Entre ces fonctions on a les relations connues:

Cs + Ci

4 4 4 4 4 4 Cy + Cog = C5 — Co + Cin — Cou

LT n6 4 4 C5 si Co — Cin — Cray

4 ale 4 4 4 Cn + 64 = €; — Co — Co + Cu

4 qe A v 4 Cag — Cu = Cy — Cog = Cor — Cay

et en conséquence si lon indique par Q un quelconque de ces derniers binomes, et l'on pose:

cs = 6, Ch = Ca, Cia ==. 0g; Gy ies on aura: I I CH = ; (aı T Q), Cia — z (a >= à), I I á — 5 (@ + Q). Co = = (a, — &), I I Gai aay (a m Q), e m 2 (a; — Q), étant:

Ber Oy oh Oy 6, 0, Qo GC eg Cys a, — 6, — 6, — 6, 1 Gy.

Soit: 6 a2 ge a gos == qQ,€ an Vs = 0)

l'équation dont les racines sont c,, ¢,,¢,,¢,; la relation connue: DAP. cup 2M 2 Cog €44 = Co — C€13€34 donne pour Q' la valeur: 2 2 inca Q* = gi — 49 + 8 Va:

2. On a vu au chapitre 1" que les racines #,,7,,... sont liées aux racines w,,@,,... par la relation:

— I LI EC

Acta mathematica. 12. Imprimé le 10 octobre 1888. 19

90 F. Brioschi.

on en déduit trés facilement qu'entre une quelconque des fonctions 75, et la correspondante cj, on a celle-ci:

A LIFE, frs >= n Css

en conséquence, si lon pose, par exemple:

2 | Yo = [264 — Cy — Co — Ca], on aura: 12 CUS et en général

12 QE RS UU

Indiquons maintenant par b,c des quantités analogues aux f,; du chapitre précédent, c'est à dire:

DT E C= 560*—— 4:9. 5^.09,— 3.5 Gas

on aura:

pb > f. nu — 5, et de la résolvante de MALFATTI on déduira la suivante: (A) | [v^ + 4.5.3*. by + 4". 5.3" c], + a" [y + 5.6.a]0 — o, ou l'autre: (B) 2° + 3oaz! + 6o(sa? + b)z? + Oe + 40(25a° + 15ab — 26) = o, z étant liée à y par la relation:

y + 5.64 = — 32”. On arrive ainsi à ce résultat remarquable, que les quatre invariants: b:, 65 0, Q0.

de la forme «(x,,,) du sixième ordre peuvent s'exprimer en fonction des dix quantités c,.. On peut observer: que chacun de ces quatre invariants est iden-

CCR m, — oe

X

5 ey En 59 ;

Sur l'équation du sixième degré. 91

tiquement égal à zéro si la forme # a un facteur triple; et que leurs valeurs en fonction de c,, c,, c,, c, sont les suivants:

I 9 fia > la. Na. curas ten sat DU. HAI m ada 3.4.5 Co Shae 3°. s = [4di = 18414 =a 2 743 + 189, V4, ], ad = — gg din — 129,9, 5 345 SI 241, I 44143 Va, ]-

4. Transformation de l'équation générale du sixième degré. Sa forme normale.

1. J'ai montré il y a quelques années !

de quelle maniere on peut transformer une équation générale du sixième degré au double point de vue d'annuler un ou plusieurs des coefficients de la transformée et de rendre les autres des invariants de l'équation donnée.’

Soient, comme au chapitre 1', w(x, , x;) une forme du sixième ordre,

k =-(uu), un de ses covariants biquadratiques, 9 son discriminant; si des deux formes du cinquiéme ordre: x g = tu, + 2,kd! = o O, D = tu, — v, kó* = o,

dans lesquelles: 1 du 1 du

1 ~ 6dz,’ fal c6 dade on élimine le rapport x, :x,, on obtient l'équation:

Hu + u, dE + ou, dit + w,0* = 0,

Us is 435%, étant des fonctions rationnelles, entières des invariants de la forte u des degrés 12,14, 15,16

* Annali di Matematica, Serie 2%, T. 11, Sulle relazioni esistenti fra cova- rianti ed invarianti di una stessa forma binaria.

? Pour la théorie générale de ces transformations on peut consulter l'important Mé- moire de M. HERMITE: Sur l'équation du 5™° degré, pug. II et suivantes.

92 F. Brioschi.

Avant de déterminer la valeur de ces coefficients, il est opportun

de démontrer une propriété remarquable des racines /,,/,,...,f, de la

nouvelle équation corréspondantes aux racines @,, c .,@, de l'équa-

tion u(x) = o. On voit tout de suite que, étant:

1?"*

6k (wy) M

war)

De

r

on aura: 1 M

o0

LS RN [5w' (c, )u'"(c,) — 3w"" (c, )].

Considérons la racine £,, en posant:

x I I

Mir == = —

: y — Oy (Or) ;

on a:

" 5 , nt, " 5

Ww (o,) Aw(e,)w («,)— 3w (« 5 D En; J Co) i De I ,m}, wu (e, ) 1 u”(®,) 1

et en conséquence:

D 4474 EE: „2 x EC MES Lo Tau) > 6u'(w,)[2m,m, — 2227].

w (e, )

On aura ainsi: 52.1, = w(ow,)Zm,m, — 222m) oi ou: 5*4, = Ald, +o, +4 +h + oh ayant indiqué par ¢,,¢,,... les expressions suivantes: $s = ag; L(6304)12)15) + (02)(05)(13)(14) | $s = Go) [(04)(05)(23)(21) + (03)(01)(24)(25)] d, == [(05)(01)(34)(32) + (o402)(35)(31)]

(30)

9, = Go l(o1)(02)(45)(43) + (05)(03)(41)(42))

Ps = Go l(O2)(03)(51)(54) + (01)(04)(52)(53)],

Sur l'équation du sixième degré. 93

qui se déduisent l'une de l'autre par la substitution cyclique (12345). En se rappelant les valeurs des dix quantités c*, données au chapitre précédent, on trouve que ¢,,¢,,... peuvent aussi s'exprimer comme il suit: - Le Cas + 6 _ 006—6 EN EE ^ -—-—(wesaa! EX — ^ GE)

" ere d hi a Fo.

* (04X12X35)” d (05)(14)(23) Mais on démontre trés facilement, et c'est connu, que chacune des cing expressions:

>

O1) 25)(34)6; HAUTE

CE ln v Nu y aco - on nS pt © Cn TS c wo

(03) 6 Cig Cia, (o4)(12)(35)c € Cocos (osY1423)6 & chet est égale à IIe = ó. On aura en conséquence: D. = —àd dá + d] ài. d. — E5160 Gis Ch [cs ic C i Od, = C3 Ci Cia Cia [ets cb 3.4, = ce cc — ch) 9d, — — à d ee + ch};

d'autre part, des relations connues entre les carrés des fonctions c,,, on déduit que: ,

Co Cos Cia Cas = Cai (C5 + Cos) — 6562601634 GG Cu Cis = — a (Con + Cie) + 656260 C9; Ch G Osa Cds = Ca (c =a Es ) E es e Gh Cae add dla) + dés

94 F. Brioschi.

donc en observant qu'on a:

A 44 4 A 4 A 4 A 4 ote We de — Cas — Cy — Cy + Cy + Cog 4 Co Cia - Coy Cu — Co = O,

on arrive à ce résultat: que les racines ¢,,¢,,... sont exprimables en

fonction des quantités €. On a pour ¢,:

Bis pre SERES TU À an Ten 204 INDE MW 5.0 = 0,66, — 696g, — Col — CoiCsa] Gi [edes == Chitral

4p54 79 4 4 + 6 lee — Cos Os]: Au moyen des relations établies dans le chapitre précédent entre les dix

quantités €, on arrive à démontrer que les racines £,,/,,... peuvent

se représenter comme il suit:

Um. m Cre s

54 —= 6 + a, 5b. — 0 — a; 2 2 Beat, = Os G55 554 = 0, — 4,

2 2 int; Oe Ali, UN dans lesquelles: Zr 2:2 ] 2 (n ] à a fas

Ce €,6,(6, us c,) is C56, (6, 25 C,) Te (6, IE c, (c, ne c,)a, ale 20, vq,»

Me e, Cs (c, + 6,) EN €,6,(¢, 3 6.) Am (c, x cs (e, k Cy) + 24a, Va

a, = ¢¢,(¢, + ¢,) — e,e(e + e) — (e, + 4)( + ca, + 29, Va; et:

=a à à ; \O n 2 5 6 à b, E (c, bs c, (c, —06)8, b, = (c, ES 6, (c, 2 c,)à, ne Vir YS) b, = (c, ^ c, (6, —¢,)Q et en conséquence b, + b, + b, = o, comme cela devait être.

Mais, ce qui est remarquable pour le but que nous avons en vue, ces quantités a,,b,,... sont des fonctions des quinze différences deux à deux des racines y,, y, ,..., y,. A l’aide des relations démontrées pre- cédemment on transforme en effet les expressions supérieures dans les suivantes:

544,— — [o2][15](34] + [o2][14][35] + [o4]E:3][25] + [o5]: 3]E24].

(1) 544, [o1][25][34] + [o1J(24][35] — [o4]: 5]E2 3] — Los] Er 4JE2 3]. 544,— — [o3] 14](25] — [o3]: 5] 24] + (o4)[12][35] + Dos)E123 34]. b,= —[or][23][45], — 275,— —[o3}[12]l45], — 275,— [o2][r3](45],

D EST

— —

Sur l'équation du sixième degré. 95

dans lesquelles

[rs] = y. — y, et l'on a posé «w, = I.

2. En vertu d'un théoréme connu de la théorie des formes, les coeffi- cients de la transformée en ¢ seront, en conséquence des valeurs supé- rieures de a,,6,,..., non seulement des invariants ou des fonctions d’in- variants de la forme w(r,, r,), comme nous l'avons démontré, mais aussi des invariants, ou des fonctions des invariants de l'équation (A) en y. La détermination de la valeur de ces coefficients se réduit alors à la caleu- lation de quelques coefficients numériques. Il est évident que le coefficient w,, est égal à l'invariant du second degré de l'équation (A), sauf un coefficient numérique; que ,,d est égal à un invariant du quatrième

B \ . : EN ER: ; ; degré; w,,0* égal à la racine carrée du discriminant, w,,0? égal à un in-

variant du sixième degré.

Soient, pour l'équation (A), 7, m, » ses invariants des degrés 2,4,6 analogues aux invariants a,b,c de la forme w; et soit p le discriminant. En posant:

“nts

D | = [97

on trouve que l'équation en ¢ ou en v est la suivante:

A . 1 (C) v® + 30/0" + 60(57? + m)v? + p?v + 40(251” + 151m — 2n) = o, et à cette équation je donne la dénomination de forme normale de l'équa- tion du sixieme degré. Cette équation à la méme forme que l'équation (B) en z, par con-

séquent si l’on pose: 9 + 5.6.1 — — 3v’,

elle.se transforme dans la suivante: (D) [o^ + 4.5.3". mo + 4.5.3". n] + 3 (o + 5.6.1]p = o.

La détermination des valeurs de !,m,n, en fonction des invariants

96 F. Brioschi.

a,b,c,0 de la forme u(x, , x,), ne présente ainsi aucune difficulté, et lon trouve:

| — 2.5.4*.3'[3ad + 55? + c*], 57 + m= 5*.4*. 3 (11a? — 2b)d + 4a(5b’ + c?)

+ 182^ (sab — c)]d,

251 + 15lm — an = — 5.4. 3" [4(8a? + 12ab — e)d

D On

+ 12(a? — 4b)(5b* + c?) — 4:3”. ab’(zab — e) + 3°.b*]d?,

ayant posé:

1 ; y. Nr os Ll : Enfin p? nous l'avons démontré égal, sauf un coefficient numérique, à

3 . , . . . E 4,,0?; or la forme w(v,, r,) ne peut avoir d'autre invariant du quinzième degré que l'invariant gauche qu'on a indiqué par e dans le chapitre r', et on trouve:

24 NC

RS RCE

La forme normale des équations du sixième degré est par conséquent complètement calculée.

Cette équation normale est, comme on a vu, le résultat de l'élimi- nation du rapport z,:z, de deux équations du cinquième degré ç = o, d$ =o. Il est évident que de ces deux équations on pourrait aussi déduire la valeur de x,:x, en fonction rationnelle de #, c'est à dire que la recherche des valeurs de ©,,&@,,... ou la résolution de l'équation générale du sixième degré u(x) = o dépend entierement de la résolution de l'équation en /.

3. La forme de l'équation supérieure en o montre tout de suite, si on se rappelle l'équation (A), de quelle maniere les racines 4,,9,,... sont formées avec les y,,5,,.... En indiquant par h,, les dix fonc- tions qu'on obtient en substituant dans les c, les racines y, 9. ... aux racines @,,@,,..., on arrive trés facilement à ce résultat;

Sür l'équation du sixième degré. 97

Op = 2h; — hj — hi, — hi,

o, = 2h, — hi, — hy — hj — M. + A, + hi; — 25,

o, = 2h, — hy, — hi —h = Dh, + hé + hi — ah,

4 4 4 4 4 4 4 4 8, = 2h, — hj — hy — hi, = hy + hi + hi, — 2h, o, = 2h; — hi, — hi — hh,

o; = 2h; — hi, — hi, — hi,

ht = =: (x bat a) hig = — > (a + m) M —i(» op) Macs —i( + a + a) (E). Mh=—J+ta+0) = —{(a + a+ a) hi = —im +o + 0), his = —3 (0, + à + à), Moines M--!atatm)

Ces relations nous seront utiles dans le chapitre qui suit.

5. Résolution de l'équation du sixième degré.

I. Soient

u = [ARE (z,dz, — 2 a (de, — z,dz) Ad m — a, dz,) Ve , 2) » À 2) : e VA , 2,)

deux intégrales hyperelliptiques de premiere espece; et soient «,,. ©

12? 155 0,,5 My, Duo ; @,,, €,, les périodes normales primitives. En posant:

Prs (0,05, — 005,0), = — Dos

Acta mathematica, 12. Imprimé le 12 octobre 1888. | 13

98 F. Brioschi. .

on a, comme il est connu:'

Ds s Pr, = 0; Dia Psa a Pis Pia + Py4Po3 — O,

et si: I I 3 Ch Pre (u, Wy, EX UO; 3) VE RU RE U,@,,)» 12 21 les nouvelles périodes seront: q ) D Dot yO, ou = Enz To = Ps, Pie pis 2 Pi: p EC REESE a el Pre Pie et en consequence 7,, = T,,- Soit:

PRE ue = 8, (01, V5, Tu, Tie» 735)

une des dix fonctions théta paires; et #,, la méme fonction dans laquelle on a SUPPOSÉ 9, — v, — O. On sait qu'en indiquant par p la quantité:

le produit p’#!, est une fonction des racines de l'équation f(z,, 2,) — o, fonction qu'on obtient en substituant ces racines dans l'expression c}, aux = i LA a ^ mm c racines ©, , 49, ,... de l'équation u(x, , z,) — o. Si en conséquence on pose:

(Oe = p [28 — DA a $1, —— Beil, = p [2% =; Fis Re $5, > 9; jb ze m p [2M == Da —— 9: = UM ; Ca = p 265, —% —4— de: (e == o’[2% = A = 9 c dh

(Qo == p [20 — 4j, — I, — 8 il;

J'ai adopté la notation due au Prof" KLEIN. Voir dans les Math. Annalen,

Bd. 27, Über hyperelliptische Sigmafunctionen.

= Sur l'équation du sixième degré. 99

AUCH

5

l'équation du sixième degré dont les racines sont ¢,,¢,,---,¢ la même forme que les équations (A) ou (D) , et l’on aura:

Le + 4.5.3. Bo + 4*. 5.3 C]! + 3e + 5.6.4]D = o,

dans laquelle A, B, C, D sont pour la forme f(2,2,) les mêmes in- variants qu'étaient @,b,c,0 pour la forme u(x, , r,).

Déterminons maintenant la valeur de ces invariants 4, B , C, D par les équations:

AN, B=m, C= mn: LR

on aura comme conséquence:

6, = Cr

c'est à dire les racines de l'équation (D) en se, laquelle est une trans- formée de l'équation générale du sixième degré w(r,, #,) = O, s'expri- ment par des fonctions théta dans lesquelles la valeur des périodes est déterminée par les relations supérieures entre les invariants.

Mais à cause des équations (E) on voit que; étant o, = g,, on aura aussi:

L

4 2 BR 0:0,

et en conséquence on peut déterminer la valeur des racines v,,®,,--- de l'équation (C) en fonctions explicites des fonctions théta. 2. Pour atteindre ce résultat il faut se rappeler les valeurs (1) de

b,. On sait que chacune des quinze expressions:

a 5 9, 0. m ub.

1° (y, Fr M), Ex Ya), ZX Ys.)

dont se composent ces valeurs sont des fonctions des h,, et l'on a, par exemple, hy hy hs hi hihi,

(Yo SWE UBICA ==.) TET ITA

100 F. Brioschi.

On trouve ainsi pour v,,v,,... les valeurs suivantes:

2119 z 4 gi gt 47.91 ot 4 gf 4 of 2 02 .g2 q? mes 9, 01,05, — 0; [91505 + dd + & — 2959) 01,05], i N 210 DES 9! 9t jt NE: $8; L9; ji E 9! gt JE 9t jt 29? 92 9° 92 5 9 — Vo U,4U»3 5 LU 14 723 2300 Ug Vya -— = 59, 91,05], i N 2110 AE g: gt 9t 9: jt jj 9: 9% f) 94 92 9? 92 92 Va — Vos Uy — [9% dt te + Ad — 29,090 J, |, 2119 RU t 94 Qt {Fat ot 4 94 4 ot 2.02 92 q2 207 V; = 040,40, — 9; [95,05 + Fy + ados — 20,9, 04,0, |; N 211 NE 9: 9: gt en y; [95 fj Jj gi ji 9? Fe: 29: 9: 92 9? 7 Vy — Vo Vor dd, Bor + 95 05, + 5,0; 295 0303 9j]. à] 210, — $igtg ipgt gi 9i 9 9. gt $292.92 2 p V3 — Vo Va Uo, — s [9i 65 ES U'o1 V3 He 09304 — 2U5 Vos UV mle

En résumant: la méthode que j'ai suivie pour la résolution des équations du sixième ordre se compose de quatre recherches différentes. 1°. Etant donnée une équation quelconque du sixième degré u(x, , r,) = o on peut au moyen de certaines fonctions de ses racines, fonctions que j'ai in- diquées par cj, déterminer des quantités à six valeurs y,, y, . ++: Ws» et les coefficients de l'équation dont les racines sont ces quantités ont la propriété d’être des invariants de la forme w(r,, r,). 2°. J'ai démontré que d'autre part l'équation w(r,, x,) =o peut être directement trans- formée dans une autre (forme normale (C) qui a la méme propriété quant aux coefficients et la méme forme que la précédente. Les racines de l'équation donnée w(r,, 7,) — o sont des fonctions rationnelles des racines de cette dernière. 3°. Mais les racines de cette derniére sont des fonctions des y, , y, ,... d'une forme spéciale qui rend possible d'ex- primer la valeur de ces mémes racines en fonction de certaines quantités |; composées avec les y, y, ,... de la méme manière que les c, le sont avec les racines de l'équation donnée. 4°. Enfin, de la théorie des fonc- tions théta hyperelliptiques à deux variables on déduit qu'avec les dix fonctions paires #,(0, 0) on peut former des quantités à six valeurs, et que l'équation qui a pour racines ces quantités est de la méme forme que les équations précédentes, et ses coefficients sont des invariants de

Sur l'équation du sixième degré. 101

la forme du sixième ordre f(z,, 2,) qui appartient aux intégrales nor- males hyperelliptiques. Ces invariants peuvent donc être déterminés de maniere que cette derniére équation vienne à coincider avec la trans- formée de l'équation donnée.

3. Jai déduit l'équation (A) en y de la résolvante de MALFATTI, mais je dois ajouter que cette équation, ou plus précisément la corres- pondante pour les fonctions ¥%,,(0, 0), se trouve dans un mémoire re- marquable de M. le D' Mascuke, et que la calculation directe des in- variants de la forme /(z,, 2,) par les fonctions $,(o, 0) est due à M. le D' Borza.' Peu de temps aprés la publication de ces mémoires, par la connaissance que j'avais depuis quelques années de la transformée en v de l'équation générale du sixième degré je me suis aperçu que de cette coïncidence de forme on pourrait déduire la résolution des équations du sixième degré; et j'ai communiqué ce résultat à mon savant ami M. le Prof" Krem. Quelques jours aprés M. Mascnkr m'a envoyé une com- munication pour l'Académie des Lincei dans laquelle il était arrivé au méme résultat par une transformation de Tscumwavs.?

Je dois remercier M. MrrraAc-LerrLER qui, m'ayant déterminé à com- poser ce petit mémoire, m'a donné l'occasion de rendre plus claire et plus compléte la méthode que j'ai suivie.

Milan, Aoüt 1888.

* MascHkE, Über die quaternäre, endliche, lineare Substitutionsgruppe der Bor-

chardt'schen Moduln. — BorzA, Darstellung der rationalen ganzen Invarianten der Binär- form sechsten Grades durch die Nullwerthe der zugehörigen Ó-Functionen, Math. Anna- len, Bd. 30.

* Rendiconti della R. accademia dei Lincei, Seduta del 4 marzo 1888, La risoluzione della equazione del sesto grado, Estratto di una lettera del D' MascHkKE al Socio BRroscHr; Osservazioni sulla precedente comunicazione del Socio BRioscur.

PAT

Le E ce = " B Ew : & % 2 z - À : a = en * e k — ; - = 3 P AS = 2I 2 = p - -— x * . - A *

av

ENTE 3509

103

BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DER MEHRFACH LINEAR VERKNÜPFTEN FUNCTIONEN VON

KARL HEUN

in MÜNCHEN.

Die folgenden Zeilen enthalten Zusätze sowie eine Berichtigung zu meinen Untersuchungen in Bd. 11, pag. 97—118 dieser Zeitschrift. Die Hauptfrage, welche hier erledigt wird, ist diese: »Wann sind p + 1 p-fach lineär verknüpfte Functionen gleichgruppig?» Herr Poincaré hat sich eine nahe verwandte Frage in dem Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes, Acta Mathematica, Dd. 5, gestellt und für p— 2 ausführlich erórtert. Nur handelt es sich dort um Functionen derselben Familie, wàhrend ich Functionen derselben Art (genre) betrachte. Eine wesentliche Bedeutung hat dieser Unterschied nicht, da es sehr leicht ist von dem einen Falle auf den andern überzugehen. Was mich die Functionen derselben Art bevorzugen liess. war der Umstand, dass diese unmittelbar zu den Be- ziehungen führen, welche als eine Erweiterung der Gavss'schen relationes inter functiones contiguas anzusehen sind. Gerade von hier aus eröffnen sich neue Gebiete für die specielle Functionentheorie. Man denke nur an die Art, wie Gavss die Theorie. der /-Function aus einer bestimmten re- latio inter functiones contiguas hervorgehen lässt.

1. Die erzeugenden Substitutionen der p-fach lineär verknüpften Functionen mit à + 1 Verzweigungspunkten besitzen (cf. Acta Mathe- matica, Dd. 11, pag. 116)

(p? — 1) — 1) independente Coefficienten.

Acta mathematica. 12. Imprimé le 12 octobre 1888,

104 Karl Heun.

Zu der entsprechenden Gruppe gehüren unendlich viele Differentialglei- chungen, die sich zunächst durch die Zahl der »individuellen» Parameter unterscheiden. Die Differentialgleichung, für welche diese Zahl gleich 4 ist, besitzt, abgesehen von den Verzweigungspunkten, welche wir jetzt als vorgegeben betrachten,

++

independente Parameter. Die letztere Zahl wird gleich (p? — 1)(i — 1), wenn

k = (p — Pl — 1) — | angenommen wird. Hieraus folgt

Theorem I. Einem Systeme von 4 erzeugenden lineären Sub- stitutionen p"* Ordnung entspricht eine Differentialgleichung der- selben Ordnung, welche i+ r beliebige Verzweigungspunkte und ebensoviele »individuelle» als »characteristische» Parameter besitzt.

Nach dem Ansatz, welchen ich in N° 5 der erwähnten Abhandlung mitgetheilt habe, kann man ein System mit einer beliebigen Anzahl be- liebiger »individueller» Parameter auf ein bestimmtes gleichsgruppiges Haupt- system reduciren. Die aus Gleichung (9) |Bd. 11, pag. 112) fliessenden Relationen sind hinreichend zur Bestimmung der Coefficienten in der Re- ductionsgleichung und der »characteristischen» Parameter des Hauptsy- stems. Man kan jedoch denselben Ansatz benutzen um ein System (2) mit Ah »individuellen» Parametern auf ein gleichgruppiges Hauptsystem (y) mit beliebigen »characteristischen» Parametern zu reduciren. Alsdann werden aber die »individuellen» Parameter infolge der Gleichung (9) l. c.

(p — 1) tp — 1)— I | Bedingungen

unterworfen. Sie sind also vollständig bestimmt, wenn # gleich der Zahl der »characteristischen» Parameter wird. Dass die Bestimmungsgleichungen

im Allgemeinen von einander unabhängig sind, folgt aus Theorem I. —

AE Ge o^ or

Bemerkungen zur Theorie der mehrfach lineür verknüpften Funetionen. 105

Dem System (y) ordne man nun p + 1 unter einander verschiedene aber mit (y) gleichgruppige Functionen 2", 2,..., 2” mit je

(p — 1)» — 1) — 11[— zl

M

»individuellen» Parametern zu und bestimme die Coefficienten nach dem erwähnten Ansatze. Hierauf eliminire man aus den p + 1 Beductions- gleichungen die Function (y) und ihre Derivirten. Dann entsteht eine Relation von der Form

(a) HA (z2).2” + Hí(x).2? +... + H,(z).4? — o,

worin die H bekannte ganze rationale Functionen bedeuten. Dass unter den (z) in der vorstehenden Gleichung auch (y) einmal vorkommen kann, ist selbstverstándlich. Dies führt zu

Theorem IL Zwischen p + 1 p-fach lineär verknüpften Func- tionen können nur dann Beziehungen! bestehen, welche den Gavss’- schen relationes inter functiones contiguas analog sind, wenn wenigstens p derselben ebensoviele, dem Werthe nach nicht willkürliche, »in- dividuelle» als »characteristische» Parameter besitzen.

Ich bemerke hierzu noch, dass man zur wirklichen Aufstellung dieser Relationen am bequemsten von der Gleichung (II) [Acta Mathematica, Bd. 11, pag. 105] ausgeht und dann analog wie in N° 5 1. c. verfährt. Wegen eines ausgeführten Beispiels vergl. man meine Beiträge zur Theorie der Lamé'schen Functionen |Math. Annalen, Bd. 32]. In diesem Falle ist p= 2,i— 3 und p — 1.

2. Ein System (z) mit den »individuellen» Parametern 7; , 2, ..., 7 und dem Indicesschema

Wu, Moy 2-25 Myint

No, 5 Nagy + 2 + 9 Mois

dics lon d. en pet

1 Ausnahmefälle können nur dann eintreten, wenn die Verzweigungsindices bestimm- ten Bedingungen genügen.

Acta mathematica. 12. Imprimé le 11 octobre 1888. 14

106 Karl Heun.

soll auf ein gleichgruppiges Hauptsystem (y), für welches D — — m ist, reducirt werden. Zugleich sollen aber auch die Coefficienten in der Differentialgleichung

d?z ei s (r— 7x —7T,)...(x — Allee + G,_,.d? pe coe G-2—0

vollständig bestimmt werden. Der Ansatz in N° 4 |l. e. pag. 109—111] giebt

pm + k + 1) + tp (p + 1); — 1) Gleichungen,

welche erfüllt sein müssen, weil (y) und (z) gleichgruppig sein sollen. Meine Behauptung (l. c., pag. 111), dass von diesen Gleichungen

(p — 1) — 1) — 1} Gleichungen

D | =

Qe )|

eine Folge der übrigen seien, ist eine wnrichtige. Sie sind vielmehr »im Allgemeinen» d. h. wenn nicht specielle Relationen für die Verzweigungs- indices bestehen, alle von einander unabhängig. Hier von überzeugt man sich. durch die folgenden Betrachtungen. 5 Als vorgegebene Grössen bei der Überführung von (z) auf (y) wollen wir zunächst ansehen | erstens die Verzweigungsindices der Functionen (y) und (2), zweitens die k »individuellen» Parameter in (2). Alsdann sind als Unbekannte zu betrachten _ erstens die p »characteristischen» Parameter in (y) I 7 : zweitens p(k + 1) +>p(p + 1) — 1) Coefficienten in den | Func- tionem 65, 55. 962

drittens p(m + 1) — = p(p — 1) — 1) — 1 Constanten in der Reduc-

tionsgleichung. Man erkennt, dass zur Bestimmung dieser Unbekannten die durch den

Ansatz in N° 4 gelieferten p(m + k + 1) + -p(p + 1)(i — 1) Gleichungen

genügen, wenn dieselben von einander unabhängig sind. Der Ansatz in N° 5 l e. liefert aber ebenfalls das Resultat, dass die »characteristischen»

nt best. de.

À Bemerkungen zur Theorie der mehrfach lineär verknüpften Functionen. 107

Parameter in (y) bestimmt sind, wenn die »individuellen» Parameter von | (2) beliebig vorgegeben sind. Ein Widerspruch in den Ergebnissen beider Reductionsmethoden ist unmöglich, denn sie folgen beide aus dem Princip

der Irreduetibilität der Differentialgleichungen für (y) und (z). Folglich | sind in der That die obigen Gleichungen von einander unabhängig.

| Wir wollen nun als Daten ansehen

| erstens die o »characteristischen» Parameter in (y)

| zweitens k — po »individuelle» Parameter in (2)

drittens die Zahl D — — m,

und als Unbekannte

‚erstens p(k + 1) + pp + 1)(j — 1) Coefficienten in den Functionen

t ' L] | Ta Gry EE zweitens p »individuelle» Parameter in (2) : I \se . | drittens p(m + 1) + 2 p(p + 1)(i — 1) — 1 Constanten in der Reduc- ; tionsgleichung.

Der Ansatz in N° 4 1. c. liefert wiederum die hinreichende Zahl von Be- stimmungsgleichungen für die Unbekannten.

| Hiernach muss der Satz auf pag. 112 l. c. durch die folgenden er- I setzt werden.

Theorem III. Ein mehrfach lineär verknüpftes Functionensystem

lasst sich stets auf ein Hauptsystem mit vorgegebenen »characteristi- i schen» Parametern reduciren, doch werden hierbei ebensoviele »in- D dividuelle» Parameter des zu reducirenden Systems dem Werthe nach | bestimmt, als das Hauptsystem »characteristische» Parameter besitzt. : Theorem IV. Ein p-fach lineär verknüpftes Functionensystem 1

mit einer beliebigen Anzahl beliebiger »individueller» Parameter làsst sich immer durch ein Hauptsystem und p — 1 successive Derivirte

|

derselben lineär und rational ausdrücken. Die »characteristischen» Parameter des Hauptsysteins sind durch ein gewisses System simul- taner algebraischer Gleichungen bestimmt.

Nachdem die Coefficienten in der Differentialgleichung für (z) voll- ständig bestimmt sind, könnte man fragen, welche derselben man als characteristische Parameter ansehen soll. Es ist jedoch nicht nothwen- dig diese naturgemäss unbestimmte Frage durch eine willkürliche Fest-

108 Karl Heun.

setzung zu entscheiden. Da man nemlich immer eine Gleichung von der Form

y

yt

a= yt Pg br. E

aufstellen kann, so ist (z) durch seine »individuellen» Parameter, die Zahl D und die »characteristischen» Parameter von (y) determinirt. Es er- scheint mir daher am einfachsten entweder gar nicht von »characteristi- schen» Parametern des Systems (2) zu sprechen oder, wenn man es thut, diejenigen des Hauptsystems (y) zu verstehen.

3. In Rücksicht auf verwandte Untersuchungen anderer Mathema- tiker, welche die von mir als »individuelle Parameter» bezeichneten Grössen einfach »ausserwesentlich singuläre Punkte» nennen, sehe ich mich ver- anlasst meine abweichende Terminologie zu begründen. Zunächst führt, wie schon RikMANN gezeigt hat, die natürliche Entwicklung der Theorie der mehrfach lineär verknüpften Functionen unmittelbar auf die Differen- tialgleichung [Acta HURLED re Bd. 11, pag. 105]

di

G. [k]. gs +0, + + G2 = 0

Für p — 2 hat man also

Durch eine bekannte Substitution lässt sich diese Gleichung durch die einfachere

G,|k 9.3 = = ersetzen. Diese Form resultirt nun oon aus der von Herrn Fucus ge- wählten wenn k Verzweigungspunkte in ausserwesentlich singuläre Punkte degeneriren. Nimmt man jedoch p — 3 dann ist diese Überführung nicht mehr möglich, so lange die Gleichung G,[k| = o nur lineäre Factoren besitzt.

Gc

Es ist auch bemerkenswerth, dass man bei dem von mir eingeschla- | genen Weg gar nicht auf die Theorie der logarithmischen Integrale zu recurriren braucht, wenn man nur annimmt, dass die Fundamentalglei- chung für (2) ungleiche Wurzeln hat.

Frankfurt a/M. 26. Mai 1888.

109

SCHERING'S BEWEIS DES RECIPROCITATS-SATZES

FÜR DIE QUADRATISCHEN RESTE:

DARGESTELLT MIT HÜLFE DES ZEICHENS [x] VON

JACOB HACKS

in BONN.

Die verallgemeinerte characteristische Zahl für den Rest » und für den Modul », wo » und » ungerade relative Primzahlen sind, wird . SU HI 2 Anzahl der in den ; Brüchen :

(nach SCHERING) definiert als die

m — I "N agi! 2.7 3.n 2 DIFF; H , ete | = m m Mm m Nun ist offenbar, wenn

absolut kleinsten negativen Reste.

vorkommenden in einer Zahl x enthaltene ganze Zahl bezeichnet,

[x] die grósste [sucede nb

m je nachdem der absolut kleinste Rest von = negativ oder positiv ist.

Bezeichnet man also die oben definierte characteristische Zahl mit y, so

kommt iR era

! Nachr. d. Gesellsch. der Wissenseh. zu Göttingen 1879, p. 217.

Acta mathematica, 12. Imprimé le 11 octobre 1888.

110 Jacob Hacks.

» sei die characteristische Zahl für m in Bezug auf den Modul », dann ist ebenso

2

s=1

es ergibt sich demnach mit Benutzung eines zuerst von Gauss (Werke II, p. 5) bewiesenen Satzes

m—1 n—1 PET i sj An 1 STL I sm T m — I nm — I DNE ee PSP lan 2 LT 2 2 2 Nun ist cm ES RES sn TM < sm I (2) > usb 2

wie sich auf folgende Weise zeigen lässt. Es ist nach dem auf solche Functionen, die mit wachsendem Argumente fortwährend wachsen, aus- gedehnten Diricnter’schen Satze (Acta Mathematica, Bd. 10, p. 16 sqq.)

n—1 m—1

= $= ——

(3) Y[tebeX peru se

2m

ed sn I m(2s — I) d) Mp N (4) Y [seil 2n = Zee RES

Ferner ist

IE d

s=1 s=1 fh = II 2 3 = E == 3 x an 1 . 2m m 2m + n 4 x 1 2 ut 2 ve 4 | 22m "| Ns |= + "| ms 2n t 2n TEE b 2n D piam E (m + 1) m | zm + 1) | a die B (m + 1) (n — um CARNET 2n 2n 2n à an e

2

z

t3

m—tt-n—t NS SEES -— zl

Sehering's Beweis des Reciprocitäts-Satzes dargestellt mit Hilfe des Zeichens [+]. 111

Durch Einsetzen dieses Wertes in (3) ergibt sich '

5 m—1 = n—1 E se

® ee

s=1 s=1

und hieraus in Verbindung mit (3) und (4) die Richtigkeit von (2). (1) nimmt nunmehr folgende Gestalt an

oder

! Den Beweis der Gleichung (5) hat mir Herr SCHAFSTEIN in Bonn mitgeteilt. * Ein anderer Beweis der Gleichung (2) findet sich bei BuscHE, Uber eine Beweis- methode in der Zahlentheorie, Göttingen 1883.

‘ C2 ^ E St^ Vue 7 EY

RE te D rect x Y À x - 4 .

p

x

Ever hb ^e Exe tuli ra nl

HAUT ES TTA Ps if "See bo ye

«oz U # E m M Eu in.) tA, re cc of 2 + 2 v r E P Tw id . - , is 3 > A « - - i = - z - > " et -

113

ÜBER EIN SYSTEM LINEARER PARTIELLER DIFFERENTIAEGLEICHUNGEN VON

I. HORN

in REHBACH.

In den folgenden Blättern wird die Aufgabe in Angriff genommen, die Untersuchungen des Herrn Fucns über das Verhalten der Integrale linearer Differentialgleichungen in der Umgebung der singulären Stellen (Crelles Journal, Bd. 66) auf Differentialgleichungen mit mehreren Veränderlichen auszudehnen. Da die Arbeit Rremann’s über die durch die Gauss'sche Reihe (x, A, y,x) darstellbaren Functionen (Abhand- lungen der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften 1857) das Vorbild für die allgemeine Theorie der linearen homogenen Differential- gleichungen abgegeben hat, so liegt die Frage nahe, ob eine Function zweier Veränderlichen z, y durch ihre Unstetigkeiten und ihre Verzwei- gungsweise in ähnlicher Weise definiert werden kann, wie es RIEMANN in der angeführten Abhandlung für eine Function einer Veränderlichen gethan hat. Diesen Weg hat Herr Picarp (Annales de l'Ecole Normale 1881) eingeschlagen, indem er eine Function z von x und y durch fol- gende Bedingungen definierte: Die unendlich vieldeutige Function z besitzt drei linear unabhängige Zweige z,, 2,,2,, durch welche sich jeder Zweig als lineare homogene Function mit constanten Coefficienten

4 — G2) + 6,2, + 6,2,

ausdrücken lässt; sie verhält sich nur an denjenigen Stellen (x, y) sin- gular, welche einer der Gleichungen

qs gii; TN Macias RS, WEICH, cy

Acta mathematica, 12. Imprimé le 26 octobre 1888. 15

114 I. Horn.

genügen. In der Umgebung der Stellen

DELE 0, ps Di EU, y = 0;

AA DEN MEER A, eh

Hat 09, UI 13 ©) mia, y — co; 7 ©=4, gy-a,

wo a und à beliebige Grössen mit Ausschluss von 0, 1, co sind, sind je drei linear unabhängige Zweige von folgender Gestalt vorhanden

e , l-f—r 2! hod 1) Qs Gl eon IG pec l-8—y'- 2) 'Q Gy 76, BI fr = y—a—f pr! 3) So » Sl 9 (x 1) Mot

4) dd : iia ; (y = Dc

hierbei sind sämtliche € Potenzreihen und zwar bez. der folgenden Va-

riablen 1) 2,y—b; 2) r—a,y; B ceno nem s "MI En I I 5) -,9—b; 6 æ—a,-; rs j

7) v—a,y—b.

Herr PıcArp zeigt, dass die so definierte Function, welche in eine der von Herrn Pochnammer (Crelles Journal, Bd. 71 u. 73) behandelten hypergeometrischen Functionen übergeht, wenn man eine der beiden Va- riablen als constant annimmt, das allgemeine Integral eines gewissen | Systems linearer partieller Differentialgleichungen bildet. Zu derselben |

Über ein System linearer partieller Differentialgleichungen. 115

Function gelangte zuerst Herr Appetit (Comptes Rendus, 1° semestre 1880 und Liouvilles Journal 1882) durch Verallgemeinerung der Gauss’schen hypergeometrischen Reihe; er zeigt, dass die Reihe

: ; | E. (a, m -F nXE,mXBE,n) mon Fa; 8; orm y 2 (r,m + ny(rt,mytrt, n) y

(m,n=0...0)

— es ist (a, m) = a(a + 1)...(a + m — 1)5 (e, 0) = 1 — welche für |a|<1,|y|<1 convergiert, den Differentialgleichungen

i 92 wach 3 402 5.98 2

e(t == Les + y (1 pss + [7 — (a + P -r t) a] — Pu. aa — O, 9?z 97 À 92 ‚92 fw. ot — 22 + Nat + We — gr — aga o

genügt, in welche auch die von Herrn Pricarp abgeleiteten Differential-

gleichungen übergeführt werden kónnen. Aus diesen beiden Differential- gleichungen wird eine dritte

072 , 02 92 œ —} = —| ( y) dxdy B 9% E oy

abgeleitet, mit deren Hilfe man das System so umformt, dass man drei Differentialgleichungen

9?z oz 02 ~ = 2 (Ce TL

oc? Er d. 9x 2d: oy

A 2, ER MER PE (A) 99) Dag ox "os ay’

9°2 92 92

— = 6,2 €, — C, —

oy? Dh ox T oy

erhält, deren Coefficienten «a,b,c rationale Functionen von x, y von solcher Beschaffenheit sind, dass das System der drei Differentialglei- chungen drei linear unabhängige Integrale besitzt. Das Verhalten der Integrale des Differentialgleichungensystems der Reihe F(a, 8, 7,7, 7, ¥) ist bekannt, da dasselbe durch jene Function des Herrn Picarp integriert wird, die gerade durch ihr analytisches Verhalten definiert worden war. Will man aber auf dem von Herrn Arpeıı eingeschlagenen Weg weiter gehn, so hat man das Verhalten der aus der Potenzreihe F(a, 7, f, yv, y)

116 I. Horn.

entspringenden analytischen Function, die wir eine hypergeometrische Function nennen, aus dem obigen System linearer partieller Differential- gleichungen abzuleiten. Es bietet sich somit die Aufgabe dar, ein System linearer partieller Differentialgleichungen von der Form (A) mit drei li- near unabhängigen Integralen in ähnlicher Weise zu integrieren, wie Herr Fucus die gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen behandelt hat. Da das System der Differentialgleichungen der hypergeometrischen Reihe F(a,,ff,y,v,y) einer besonderen Klasse von Differentialgleichungen- systemen (A) angehört, nämlich derjenigen Klasse, welche den von Herrn Fucus in $$ 4—6 seiner Arbeit (Bd. 66) behandelten gewöhnlichen li- nearen Differentialgleichungen mit lauter regulären Integralen analog ist, so wird im Folgenden auch nur diese Klasse von Systemen (A), die spàter genauer characterisiert werden wird, eine eingehendere Behandlung finden: Herr Fucus untersucht in $ 3 seiner Abhandlung (Bd. 66) das Verhalten der Integrale einer gewóhnlichen linearen Differentialgleichung bei einem Umlaufe der unabhängigen Variablen x um einen singulàren Punkt; um bei der Integration des Differentialgleichungensystems (A) àhnlich ver- fahren zu kónnen, dehnen wir im ersten Abschnitt den Begriff des Umlaufs um einen singulàren Punkt auf mehrdeutige Functionen zweier Veränder- lichen aus. Da unser Differentialgleichungensystem auf ein System totaler

linearer Differentialgleichungen zurückgeführt werden kann — setzt man nämlich

ie , oz 9

amm e AE. CRT

so geht das System (A) über in

D

da, = dx + 2,dy, dz, = (ay2, + 4,2, + a,2,)dx + (bz, + 0,2, + 0,2,)dy, dz, = (b,2 + 6,2, + 542,)de + (ca, + 0,2, + ce,)dy

— so beschäftigen wir uns im zweiten Abschnitt mit den Systemen to- taler linearer Differentialgleichungen

(B) UM 3a, 83. 4% + Zb,,2,. dy, (25 1, ..., m) Le le

worin @,, und b,, rationale Functionen von «, y sind, welche die Inte-

| |

mt

a 3 rx LS prot dye mmm tug onc me

Über ein System linearer partieller Differentialgleichungen. : 117

grabilitätsbedingungen erfüllen. Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns im dritten Abschnitt zu dem System (A), wobei wir vorzugsweise einen. Fall behandeln, in welchem sich sämtliche Integrale regulär ver- halten. Als Anwendung geben wir die Integration des Differentialglei- chungensystemes der Reihe F(a, ,f,r,c,y) wodurch wir auf einem andern Wege zu den anfangs gegebenen Resultaten des Herrn Picarp gelangen. Beiläufig sei erwähnt, dass die fonctions hyperfuchsiennes des Herrn Picarp (Acta Math., Bd. 1, 2, 5) zu dem Differentialgleichungen- system (A) in àhnlicher Beziehung stehen, wie die Functionen einer Va- riablen mit eindeutigen Transformationen in sich zu einer gewöhnlichen linearen. Differentialgleichung zweiter Ordnung — ein Umstand, der eben- falls die Integration des Systems (A) nahe legt. Der vierte Abschnitt endlich enthalt einige Andeutungen über die Verallgemeinerung der in den drei ersten Abschnitten gegebenen Entwicklungen.

ii

Die Art der Fortsetzung einer mehrdeutigen Function zweier Ver- änderlichen F(x,y) von einer Stelle (@=«a,y=b) zur Stelle («= a', y=!)) kann durch eine einfach unendliche continuierliche Reihe von Stellen (x,y), welche die Punkte (a, b) und (a’, 2’) verbindet — durch einen die Punkte (a,b) und («w',)5) verbindenden Weg — bestimmt werden. Wir untersuchen das Verhalten der mehrdeutigen Function F(x, y) auf solehen geschlossenen Wegen, die in der Umgebung einer singulàren Stelle verlaufen." Unsere Function möge sich singular verhalten an allen Null- stellen der irreductiblen ganzen Function d(x , y); das irreductible — und daher monogene — algebraische Gebilde

e (x > y) RO

werde als singuläres Gebilde oder als singuläre Curve der Function F(x, y) bezeichnet. Wenn’ nicht sämtliche in der Umgebung der Stellen der sin- gulären Curve verlaufenden geschlossenen Wege jeden Functionswert in sich selbst zurückführen, wird die singuläre Curve eine Verzweigungs-

118 I. Horn.

curve genannt. Die Functionen, welche uns künftig beschäftigen werden, haben eine endliche Anzahl algebraischer Curven zu Verzweigungseurven.

Wir suchen nun diejenigen in der Umgebung der Stelle (x =a, y — 0) der Verzweigungscurve d(x,y) = o verlaufenden geschlossenen Wege, welche jeden Wert der Function F{x,y) in sich selbst überführen. Es sei

(x, y) = A(x —a) + B(y —5) 4 ...;

A und B sollen nicht beide verschwinden, so dass (a,b) ein einfacher Punkt der Curve (vr, y) = o ist. Durch die Substitution

u= e(x,y) v= gr, y)

wobei ç(x,y) eine derartig gewählte Potenzreihe von æ — à, y — b ist, dass die Determinante Ou Ov Qu ov

0x Oy = Oy Ow für » = a,y = b nicht verschwindet, wird ey) esum

wo G(w,v) eine Function ist, welche sich in der Umgebung der Stelle (u — 0,v — o) nur an denjenigen Stellen, für welche v=o ist, singular verhält. Die obigen Substitutionsgleichungen ergeben

z—a=flu,v), y—b=gW,v),

wo f(w, v), g(u,v) an der Stelle (4 =o,» = o) verschwindende Potenz- reihen von x,» sind. Ist (x’, y’) eine Stelle in hinreichender Nähe von (a,b) und entspricht dem Wertsystem (x = x’, y — y das Wertsystem (v=w,v=v‘), so lassen sich æ— x’, y — y' als Potenzreihen von u — w', v — v' darstellen. Da, wenn (z',y) als reguläre Stelle der Function F(x , y) vorausgesetzt wird, jeder Zweig dieser Function in der Umgebung von (x',y) in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, so sind auch sämtliche Zweige der Function G(w, v) in Potenzreihen von # — w', v — v' | entwickelbar. Da die Stelle (x',y) nur der Beschränkung unterliegt, |

TO as. Se

Uber ein System linearer partieller Differentialgleichungen. 119

dass sie nicht der Gleichung (x, y) = o genügen darf, so verhält sich G(w,v) regulär an allen einer gewissen Umgebung von (w — o, v = 0) angehórigen Stellen, für welche nicht v — o ist. Für Functionen einer einzigen Veränderlichen gilt nun der Satz, dass ein geschlossener Weg, der keine singuläre Stelle umschliesst, jeden Functionswert in sich zurück- führt. In àhnlicher Weise beweist man für Functionen mehrerer Variablen den folgenden Satz: Ein geschlossener Weg im Gebiete der beiden Va- riablen x, y führt jeden Zweig der Function F(r,y) in sich selbst zurück, wenn sich die Function regulär verhält an allen Stellen (a’, y') von der Beschaffenheit, dass x’ bez. y' von dem von der Variablen x bez. y in ihrer Ebene durchlaufenen Wege umschlossen wird. Da sich nun G(w, v) in der Nähe von (u = o, v = o) nur an den Stellen mit verschwindendem v singulär verhält, so erleidet die Function auf allen in einer gewissen Umgebung von (u = o, v = o) verlaufenden geschlossenen Wegen von der Deschaffenheit, dass der von v beschriebene Weg den Nullpunkt der v- Ebene nicht einschliesst, keine Änderung. Ubertrigt man dies auf die Function F(r,y) so erhält man den folgenden Satz:

»Die mehrdeutige analytische Function F(x, y) besitze die sin- guläre Curve d(x , y) — 0, von welcher (x =a, y — b) eine einfache Stelle sei. Setzt man irgend eines der Functionselemente, welche an der in einer gewissen Umgebung von (a,b) liegenden Stelle (£, 7) vorhanden sind, fort auf einem Wege, der ebenfalls in jener Um- gebung verläuft und wieder in (€, 7) endigt, so erhält man hier wieder das ursprüngliche Functionselement, vorausgesetzt, dass der durchlaufene geschlossene Weg so beschaffen ist, dass der Weg, den infolge dessen die complexe Grösse &(r,) in ihrer Ebene zurück- legt, den Nullpunkt nicht einschliesst»,

oder mit anderen Worten, dass sich das Argument der complexen Grósse nicht ändert — unter dem Argument der complexen Zahl a = |« |. e* ist die Grösse © verstanden. Unter Anwendung der Bezeichung:

»Ein geschlossener Weg umwindet die Curve d(x, y) = o fach in positivem Sinne, wenn beim Durchlaufen dieses Weges das Argument der complexen Grösse dx, y) um A.2zi wächst» nimmt der obige Satz einen ähnlichen Ausdruck an, wie der entsprechende Satz für Funetionen einer einzigen Veränderlichen:

»Durch einen in der Umgebung einer einfachen Stelle (a , b) der

120 In ons

singulären Curve &(r,y) — o verlaufenden geschlossenen Weg, der

die Curve g(x,y) =o nieht umwindet, wird jedes Element der

mehrdeutigen analytischen Function in sich selbst zurückgeführt.»

Zwei in der Umgebung von (a, b) verlaufende, von einer Stelle aus- gehende und wieder dahin zurückführende Wege, welche die singuläre Curve d(r,y)- o gleich viel mal umwinden, führen ein Element der mehrdeutigen Function möglicherweise in ein anderes, aber jedenfalls in dasselbe andere Element über; wir nennen zwei solche Wege äquivalent. Ein Weg, welcher die Curve d(x , y) =o in der Nähe der Stelle (a, b) umwindet, lässt sich leicht angeben. Ist

Dix, y) = A(v— a) + B(y —)) +... und verschwinden A und B nicht gleichzeitig, so setzt man x —4 + at, y —5 + £r, wo a, ß nicht die Gleichung Aa-+ BRB=o befriedigen. Dadurch wird d)a,))=da+tel”+...;

diese Potenzreihe besitzt innerhalb einer gewissen Umgebung von t= o ausser / = © keine Nullstellen. Vollzieht die Variable ¢ im Innern jener Umgebung irgend einen Umlauf um die Stelle ¢ = o, so umwindet der diesem Wege der Variablen ¢ in Folge der Gleichungen x = a + at, y — b + ft entsprechende Weg der Stelle (r, y) die Curve d(r,y) =o und zwar einfach, weil € = Aa + BB von Null verschieden ist.

Unter (a, b) sei nun ein p-facher Punkt der Curve (x, y) = 0 ver- standen, so dass die Entwicklung von d(r, y) mit Gliedern a“ Dimension in z— a,3 — b beginnt:

d(x,